第五节 垂直关系
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
(对应学生用书第104页) [基础知识填充]
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 一条直线与一个平面内判定的两条相交直线都垂定理 直，则该直线与此平面垂直 l⊥al⊥b??a∩b＝O??aα?bα???a∥b l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a⊥α???b⊥α? 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理
判定定理 文字语言 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 图形表示 符号表示 1 / 12
l⊥α???lβ???α⊥β 如果两个平面互相垂直，性质定理 则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 [知识拓展] α⊥βα∩β＝al⊥alβ⊥α ????l?? 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )
(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.( ) A．若l⊥β，则α⊥β C．若l∥β，则α∥β A [∵l⊥β，lB．若α⊥β，则l⊥m D．若α∥β，则l∥m
α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]
3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l C．n⊥l
C [∵α∩β＝l，∴lβ. ∵n⊥β，∴n⊥l.]
4．如图7-5-1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________. 【导
学号：00090253】
B．m∥n D．m⊥n
图7-5-1
4 [∵PA⊥平面ABC，
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∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC为直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC． 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．
a [如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，
则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．
即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝ ∴A′C＝
2
a， 2
a2a2
2
＋＝a，即折叠后AC的长(A′C)为A．] 2
(对应学生用书第105页)
线面垂直的判定与性质 如图7-5-2所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
图7-5-2
(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，
CD平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
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