第五章 概率与概率分布
学习要点
第一节 概率的基本概念
第二节 随机变量及其概率分布 第三节 相对差异量表 第四节 SPSS实验——标准分数 本章小结
学习要点
1．熟练掌握百分等级与标准分数的意义及分析方法 2．应用百分等级与标准分数解释实际问题
3．了解分数的意义及其他的相对指标在实际工作中的应用
第一节 概率的基本概念
在语言实验研究中，我们通常选取研究对象的一部分（即样本）加以研究， 在此基础上， 通过推断统计对所有的研究对象 （即总体） 的情况作出推断。在进行这种推断时，我们不仅要指出总休可能是什么情况，而且还要指出我们进行这种推断的把握程度有多大，或者总体出现这种情况的可能性有多大， 这个 “可能性” 就是概率。 因此， 要学好推断统计， 就要对概率这一概念有所了解。
后验概率（或统计概率）是指通过实际观测，根据在总观测次数中某事件所出现的次数来计算该事件出现的概率，这种概率其实是一个相对频率，是实际概率的估计值。
一般用A代表随机事件 （例如 “全体学生中的男生” ） ，用P代表频率 （概率估计值） ，或用n表示观测的次数，用m表示事件出现的次数
原始分数，又称观测分数，它是观测所得的、未经任何加工的分数。在生活中人们时常用这种分数来评价他人，却不知由于原始分数本身的固有的缺陷造成使用和评价上的失误。原始分析的缺陷主要表现在三个方面。
一、原始分数无明确的意义
在考试或测验中，人们习惯用“分”作为分数的单位，然而“1分”究竟表示什么？其价值是多少？这在传统考试中并无科学的界定，就是说在传统的考试中对“分”的概念并无严格的定义。
二、原始分数的单位不等值
由于原始分数缺乏明确的定义，造成其单位的不等值。众所周知，相同的单位在人们的心目中都有相等的价值。譬如1
公斤，在每个人心目中的认识都是一样的。不过，在传统的考试中却并非如此，譬如语文考试中的“1分”与数学考试中的“1分”就不见得等值。同是语文测验，不同的阅卷者因评分的宽严不一致，嗜好不同，看问题的角度不同等等，所给出的“1分”也不尽相同。因此，某考生语文得80分，数学也得80分，我们并不能确定该生的语文学习水平和数学学习水平相同。有人在某次全国统一高考的语文试卷中随机抽取了一名考生的作文，连同教育部规定的评分标准，分别请中学语文教师评阅，在67位评阅者中，给分最高的是25分，给分最低的是6分。可见，在这些人的以上中，“分”的价值是不同的。所以说，原始分数的“1分”实际上是不等值的。
三、原始分数不具可比性
由于原始分数缺乏明确的定义，单位不等值，因此也就不具有可比性。绝对数或绝对统计量不能说明其在整个观测中的相对地位，最多只能表示观测值的高低或大小，却不能说明它在团体中的地位情况。而等级顺序只能表示一个分数的高低次序，不也不能表示它在团体中的地位，更不能与其他团体的分数或等级进行比较。这是因为它们的比较尺度不一样。因此，对分数意义的无知，往往会错怪一个人，甚至还会酿成大错。如青海一九岁学生的母亲，见孩子的两门功课都在90分以下，便认为成绩差了，一气之下，竟将孩子打死。事实上，该生的一门功课名列全班第一，另一门名列第二。又如某生名列第15名，是难以评价其成绩是优、良，还是中、差的，因这与他所处团体的人数多少有直接关系。
四、四、原始分数没有可加性
众所周知，80米是不能与80尺直接相加来计算长度，因为两者的单位不等值。同样，观测所得的原始分数因其单位不等值，也是不能直接相加的。然而，在传统成绩评价中，人们不仅把内容、题量、难度等各不相同，而且各科满分值也不尽相同的试卷得分直接相加以来求总成绩，这无异于把不同测量单位的事物相加的做法。由此可见，将各学科分数直接相加计算总分的方法是很不科学的。
此外，当测量单位不同或均数相差悬殊时，绝对数或绝对统计量也是无法直接进行对比。譬如，比较一个人身高和体重，或是田赛与径赛成绩时，因其测量单位不同是无法比较的。若要进行这类比较分析，必须将绝对数或绝对统计量进行转换，使其变换成为一种可比较的相对量数。
相对量数包括相对地位量数和相对差异量数。前者用于说明一个绝对数在某一团体中所处的相对位置的高低，后者则用于比较各列数据分布的差异程度的大小。
第二节 随机变量及其概率分布
随机变量是指在实验中受随机（或偶然）因素的影响，其取值无法进行准确预测的变量。譬如，我们要随机选取一些学生，来调查其家庭的人口数， “人口数” 是一个随机变量， 因为它可以取这一个值， 也可以取那一个值， 究竟取哪一个值完全是偶然的， 无法碗切地预测， 这要等到实验 （实际抽取）之后才能得知。我们可以用某种方法对随机变量可取数值的概率分布进行描述，这就是随机变量的概率分布。
相对地位量数是就某一特质来描述个体在团体中所占的地位的量数。这里所指的相对地位是指与某一参照点比较起来，这一个体是占在什么地位，是在此参照点以上多少，或是在此参照点以下多少。常用的相对地位量数的主要是百分等级和标准分数。
一、百分等级（PR） （一）百分等级的定义
如前所述，当一个体的等级为15时，我们无法评价其在团体中位置高低。因为这与团体的人数有密切关系。若该团体只有20人，他的成绩属中下水平；若该团体有30人，他的成绩属中等水平，若该团体有200人，他的成绩则属优秀水平。可见，普通的等级顺序是难以看出成绩优劣的。百分等级不同，它能表示一个学生的成绩在他所属的团体中的相对地位。
百分等级（percentile rank）是指把一组观测值先按高低次序排列起来，然后计算出某个个体的分数在百分位上超出多少人，或是在此分数下占多少百分比的一种量数，用符号PR表示。百分等级是将全体人数作为100来计算的，以确定每一个个体分数在这100中的位置如何。譬如，某一个体的百分等级为70，则表明该生的成绩超过他所在团体70%的人，就是说比他差的人有70%，比他好的只有30%。百分等级越大，所代表的等级越高，反之则越低。 （二）百分等级的计算
计算百分等级实际上就是求某一数（即低于给定数的分数的次数）对另一数（即总次数）的百分数，其计算方法有原始量数法和次数分布法。 1．原量数法
原量数法是直接求利用原始数据进行计算的方法，其公式为
PR?100?100R?50N
式中，R表示某一原始分数在按大小排列的数列中的顺序或名次，N表示分数的总次数。
假设某团体有5个人，依次排序（R）为1，2，3，4，5。试问每个人的百分等级是多少呢？公式的形成过程如下。
100首先，确定每一个体在100中所占的分数。以全体人数（或分数的个数）除以100，即有N，表示在百分量表上每个100?205人应占的分数。本例每一个体在该团体所占的分数为。如图5-1所示，第1名占坐标上的0～20，第2名占坐标上
的20～40，??，第5名占坐标上的80～100。
100100100100?1?2NNNN其次，确定第R名个体的百分等级。如第1名占第一个，即为，第2名占第二个，即为；??；
100100100100?1?20?2?40RN55N第R名占第R个，即有。本例中，第1名的百分等级为，第2名的百分等级为，??，100?5?100第5名的百分等级为5。
第三节 相对差异量表
作为差异量数重要指标的标准差，在进行差异程度比较时的最大缺陷就是受测量的单位的限制。典型的事例是一组物体重量的标准差为8克，长度的标准差是8厘米，虽然两个数值相等，却无法反映这些物体的重量和长度谁的差异大一些或小一些。在这种情况下，我们需要一种具有共同单位的相对差异量数来表达。
一、相对差异量的定义与公式
相对差异量数是指差异量数与集中量数的百分比，又称作差异系数（Coefficient of Variation），用符号CV表示。各种差异量，都可以用此公式求其相对差异系数，如平均差差异系数等。其中，最常用的是标准差系数，它是标准差与平均数的百分比值，用符号
CVS表示，其公式为