U0?E内d?E外d?E0d?E内?1? E内?E0E内?E外?E0???1E外E外??1??E0d S 图b
S/2
（4）电容器上总电量Q0保持不变。加入介质后，极板上的电荷分布发生变化，有介质的部分极板上电荷密度增大，无介质部分电荷密度减小，结果电容器极板间的电压降低。设右、左部分电荷密度分别为σ1、σ2。
1??1??2?S??1??2?2?022?r?0???1??1?2??r?1 U?E右??E左???1??r?2?2?0d??0??2???r?1?EE2E02?02E右?E左???左?右??r?1?0?r?1E0E0?r?1（5）由（1）（2）的结果可算出总电容等于两个电容的串联。
Q0??0S?
C1?2?rC0?C1C22?rC??C0 ?C2?2C0?C1?C2?r?1 由（3）（4）的结果可算出总电容等于两个电容的并联
1?C0?12 C?C1?C2???r?1?C0 ?12C2??rC0?2?C1?３、平行板电容器两板上自由电荷密度分别为＋σ、－σ。今在其中放一半径为r、高度为
h的圆柱形介质（介电常数为ε），其轴线与板面垂直。求在下列两种情况下圆柱介质中点的场强Ｅ和电位移矢量Ｄ。
（１） 细长圆柱，h>>r； （２）扁平圆柱，h< 平行，只有介质柱的上下两底面出现束缚电荷，因h>>r，介质柱上下底面很小，束缚电荷ＱP=σPS很小，而且离介质柱的中点较远，所以ＱＰ产生的电场与Ｅ０相比很小，可以忽略，因此介质柱中点的场强 － － － － － － ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ h E?E0??0,D??E??r?0 ?0＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （２）介质柱上下两底面的束缚电荷不能忽略，可以将其看 － － － － － － 成无限大平面，束缚电荷在这两个面之间产生的电场为 E??P???r?1?E ?0介质中的场强为 E?E0?E??E0???r?1?E?E?移 D??0?rE??0 ４、在均匀极化的电介质中挖去一个半径为r、高度为h的圆柱形空穴，其轴线平行于极化 强度矢量Ｐ。求在下列两种情况下空穴中点Ａ处的场强Ｅ和电位移矢量Ｄ与介质中Ｅ、Ｄ的关系。 （１） 细长圆柱，h>>r；（图a） （２） 扁平圆柱，h< PE0?r??0。介质中的电位? A A （图b） （图a） EA?E??0??r?1?,DA??0EA?P D???E??rP??D 0r??r?1?rA??r?1?（2）中束缚电荷在A点的场，可视为无限大均匀带电平面的场 DA?D??0?rE E?P?0??r?1?,EA??rE ５、用电源将平行板电容器充电后即将电源断开，然后插入一块电介质板。在此过程中电 容器储能增加还是减少？介质板受什么方向的力？外力作正功还是作负功？ 解：电容器极板电荷保持不变，电介质板在进入带电的平行板电容器的过程中，相当于两个 电容器并联， x?C1?C0?x LC?C1?C2?(1??r)C0??rC0?C0?L?xLC2??rC0?L?2电容器储能减少 W?Q?W0 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ - - - - -- - - - - -+ + + + + + － － － － － － F 2C介质由于极化作用产生束缚电荷，电荷受电场力作用，方向指向电容器内部。释放后，介质在电场力作用下加速移进电容器内，电场力作正功，外力作负功，电场能量减少。 ６、在上题中，如果充电后不断开电源，情况怎样？能量是否守恒？ 答：U保持不变，电容增大时，有电荷从电源流向电容器，电容器储能增加。电场力作正功，外力作负功。电源所作的功等于克服外力作功与电容器能量增加之和。 习题： １、 一平行板电容器两极板相距为，电位差为４００Ｖ，其间充满了介电常数为ε＝的玻 璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度。 解： ???Pn?(???0)E?(?r?1)?0E?(?r?1)?0U?7.08?10?6(C/m2) d２、 一平行板电容器由面积都是５０cm2的两金属薄片贴在石腊纸上构成。已知石腊纸厚 为，ε＝２.０，略去边缘效应，问这电容器加上１００Ｖ的电压时，极板上的电荷量Ｑ是多少？ 解：由电位移的高斯定理可得介质中的D与极板上电荷量的面密度之间的关系为 D???8.9?10?6(C) U Q??S??r?0dD??r?0E??r?0d３、 面积为的两平行金属板，带有等量异号电荷±３０μＣ，其间充满了介电常数ε＝２ 的均匀电介质。略去边缘效应，求介质内的电场强度Ｅ和介质表面上的极化电荷面密度。 解：介质内的电场强度为 E?USE0?r?0?1.7?106(V/m) 极板上的极化电荷面密度为 ???(???0)E?1.5?10?5(C/m2) ４、平行板电容器（极板面积为Ｓ，间距为d）中间有两层厚度各为d1和d2(d1+d2=d),介电 常数各为ε１和ε２的电介质层。试求： （１） 电容Ｃ； （２） 当金属极板上带电面密度为±σ0时，两层介质分界面上的极化电荷面密度σˊ； （３） 极板间电位差Ｕ； （４） 两层介质中的电位移Ｄ。 ?0S?0S???S 解：（１）C?Q???120EUE1d1?E2d2E0d1?2?d2?1d1?0d2?1?2（２）????1???2??P1?P2???1??2??1?2?0 ε１ ε２ （３）U?U1?U2??0d1?2?d2?1 ?0?1?2（４）D?D1?D2??0 ５、两平行导体板相距，带有等量异号电荷，面密度为20μＣ／m2,其间有两片电介质，一 片厚，ε1＝;另一片厚３.0mm，ε1＝４.0。略去边缘效应，求各介质内的Ｅ、Ｄ和介质表面的σˊ。 解：由介质中的高斯定理得，两介质中电位移的大小为 D1?D2?20(?C/m2)?2.0?10?5(C/m2) 由Ｄ＝εＥ可知Ｅ与Ｄ同方向，Ｅ的大小分别为 E1?D1?1?7.5?105(V/m) E2?D2?2?5.6?105(V/m) 两介质表面的极化电荷面密度为 ?1??(1??1?r11)???1.3?10?5(C/m2) ?2??(1???r2)???1.5?10?5(C/m2) ６、一平行板电容器两极板的面积都是, 相距为，两极加上１００００Ｖ电压后，取去电源， 再在其间充满两层介质，一层厚，ε1＝５.0;另一层厚３.0mm，ε２＝２.0。略去边缘效应，求： （１） 各介质中的电极化强度Ｐ； （２） 电容器靠近电介质２的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少？ 解：（１）未放入介质时，加上电压Ｕ后，电容器带电量为Q??S?DS??0ES? 断开电源后，Ｑ不变，σ也不变，两介质中的电位移为 ?0USd D1?D2??? 介质中的电场强度为 E1??0Ud D1?1?U?r1d E2?D2?2?U?r2d 介质中的极化强度为 P1?D1??0E1?(1?1?0U)?1.4?10?5(C/m2) ?r1d1)P2?D2??0E2?(1? （２）两介质接触面上的电位为 ?0Ud?r2?8.9?10?6(C/m2) U?E2d2?Ud2?3.0?103V ?r2d７、如图所示，一平行板电容器两极板相距为d,面积为Ｓ，电位差为Ｕ，其中放有一层厚 为t的介质，介电常数为ε，介质两边都是空气，略去边缘效应，求： （１） 介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ； （２） 极板上的电荷量Ｑ； （３） 极板和介质间隙中的场强Ｅ； （４） 电容。 解：（１）由介质中的高斯定理得 Ｄ０＝Ｄ＝σ d ε t ??E?0????0 ?D??r?0E????E???r?0?U?E0(d?t)?Et?????????r(d?t)?t?(d?t)?t??0?r?0?r?0?r?0U?r(d?t)?t(?r?1)?0U ?r(d?t)?t 介质中的极化强度为 P?(?r?1)?0E0?（２）极板上的电荷量为 Q??S??r?0US?r(d?t)?t ?rU???0?r(d?t)?t （３）各区域的电场强度为 ?UE???r?0?r(d?t)?tE0?（４）电容为 C??r?0SQ ?U?r(d?t)?t８、平行板电容器两极板相距3.0cm，其间放有一层ε＝２.0的介质，位置和厚度如图所示， 已知极板上面电荷密度为σ=×10-10C/m2，略去边缘效应，求： （１） 极板间各处的P、E和D； （２） 极板间各处的电位（设UA=0）； （３） 画E-x、D-x、U-x曲线； （４） 已知极板面积为 m2，求电容C，并与不加介质时的电容C0比较。 答：（1）由介质中的高斯定理可得 X 0 1 2 3 cm ε A –σ +σ B