才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真，既有
H(ej?)?1TH(jaT?)?,?? (3.4)
但是，任何一个实际的模拟滤波器的频率响应都不可能是严格带限的，变换后不可避免的产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，这种频谱混叠现象，使得设计出的数字滤波器的频率响应不能很好地重现模拟滤波器的频率响应，在???附近会程度不同的偏离模拟滤波在?/T附近的频率特性，而且严重时会使数字滤波器不满足给定的技术指标。只有当模拟滤波器的频率响应在超过折叠频谱后衰减很大、很快时，频谱混叠失真才会小，在这种情况下，采用脉冲相应不变法设计数字滤波器才能得到良好效果【13】。
将用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的步骤如下：
（1）确定数字滤波器的一组通、阻带截止频率?k，通带内容许的最大衰减?p，组袋内容许的最小衰减?s。
（2）采用变换公式?k??kT把数字滤波器的这组频率指标?k变换成相应的模
拟滤波器的一组频率指标?k，而通带最大容许衰减?p与阻带最小容许衰减?s不变。
（3）根据模拟滤波器的技术要求，设计其系统函数Ha(s)。 （4）由Ha(s)求数字滤波器的系统函数H(z)。
（5）利用H(ej?)?H(z)|z?e校核所设计的数字滤波器是否满足技术指标要求。
j?
三、主要特点
（1）脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲击响应，也就是说时域逼近良好，数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性。
（2）数字频率和模拟频率坐标是线性变换，即???T，这样，当模拟滤波器的频率响应是充分带限的，即其最高频率?h??T时，用脉冲响应不变法设计的数字滤波器
将不失真地重现模拟滤波器的频率响应，既有 H(ej?)?1THa(j?T),??? (3.5)
如果模拟滤波器是线性相位的低通滤波器，通过变换后，得到的数字滤波器仍然是线性相位的。
（3）脉冲响应不变法最主要的缺点是由于频率响应的周期延拓而造成的混叠效应，因此这种方法只适合于用来设计带限的滤波器，如衰减特性很好的低通和带通滤波器，高于折叠频率的部分衰减越大，混叠效应越小，即失真越小。而高通和带阻滤波器则不宜采用脉冲响应不变法来设计，否则要在其前面加保护滤波器，滤掉高于折叠
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频率
?T以上的频率，但这会增加系统的成本和复杂性【14】。
四、 MATLAB（脉冲响应不变法）设计滤波器
（1）将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。
（2）设计模拟滤波器的H(s)。
（3）将H(s)转换成数字滤波器的H(z)。
设计要设计的数字低通滤波器的H(z)的技术指标为?p,?s,?P,?S,，再根据z?esT得到模拟低通滤波器的H(s)的技术指标为?p??pTs,?s??sTs，。
比如用脉冲响应不变法设计一个200Hz的数字低通滤波器，采样频率为1000Hz，原程序代码如下
[z,p,k]=buttap(3);
[b,a]=zp2tf(z,p,k); [bt,at]=lp2lp(b,a,200*2*pi); [bz,az]=impinvar(bt,at,1000); freqz(bz,az,512,1000) 结果如图所示：
图3.1 脉冲响应不变法设计低通滤波器
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第二节 双线性不变法的基本原理
脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上较好的模仿模拟滤波器，但是由与S平面到z平面的映射z?esT具有多值性，若模拟滤波器的频率响应不是严格带限与折叠频率
?T之内，就会使得设计出的数字滤波器不可避免地出现频谱的混叠现象。采用
双线性变换法能够很好的克服这一缺点。
一、变换原理
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应模拟模拟滤波器的频率响应的一种变换方法。这种方法的基本原理是：首先把整个s平面（s???j?）压缩变换到某一中介平面S1(S1??1?j?1)的一条从??T到
?T，宽度为
2?T的横宽里，且使是s1平面
1中的这条横带与s平面有单值对应关系，然后在通过标准变换关系z?esT将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面成为一一对应的单值映射关系。消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，从而克服了脉冲响应不变法带来的缺点。这同时也是双线性变换法的最大优点【15】。
二、主要优缺点
由于s平面和z平面之间的单值映射关系，双线性变换法除能满足对变换关系的两点要求之外，还克服了脉冲响应不变法存在的频率响应的混叠现象，这时双线性变换法的最大优点。可知模拟角频率?与数字频率?之间变换关系为: ??tan()
T22? (3.6)
它表明s平面和z平面是单值的一一对应关系，s平面的整个j?轴单值对应与z平面圆的一周，也就是说频率轴是单值变换关系．
三、MATLAB(双线性变化法)设计数字低通滤波器
(1)确定数字滤波器的一组通、阻带截止频率｛?k｝，通带内容许的最大衰减?及阻
p带内容许的最小衰减?p。
(2)采用频率预畸变的方法把数字滤波器的这组通、阻带截止频率变换成相应的模拟
滤波器的一组通、阻带截止频率??k?，变换公式为：
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T2 (3.7)
而通带最大容许衰减?p及阻带最小容许衰减?s不变。
?k?2tan?k(3)根据以上模拟滤波器的技术指标，设计其系统函数Ha(s)。 (4)由Ha(s)求数字滤波器的系统函数，其公式为
H(z)?Ha(s)|jws?21?z?1 (3.8)
T1?z?1(5)利用H(ejw)?H(z)|z?e校核所设计的数字滤波器是否满足技术指标要求【16】。
比如双线性变换法设计一个200Hz的数字低通滤波器，采样频率为1000Hz，原程序代码如下
[z,p,k]=buttap(3); [b,a]=zp2tf(z,p,k); [bt,at]=lp2lp(b,a,200*2*pi); [bz,az]=bilinear(bt,at,1000); freqz(bz,az,512,1000)
图3.2 双线性变换法设计低通滤波器
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第三节 本章小结
本章针对IIR滤波器的设计，重点介绍了脉冲响应不变法和双线性变换法，其中脉冲响应不变法是从时域来设计IIR滤波器，双线性变化法则是从频域出发。其中，脉冲响应不变法可能造成混叠现象，而采用双线性变换法，s平面和z平面是一一对应的关系，克服了这一现象，这同时也是这种方法最大的优点。
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