专题02 函数问题的解题规律
一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项
1.定义域陷阱
2.抽象函数的隐含条件陷阱 3.定义域和值域为全体实数陷阱 4.还原后新参数范围陷阱 5.参数范围漏解陷阱
6.函数求和中的倒序求和问题 7.分段函数问题 8.函数的解析式求法
9.恒成立问题求参数范围问题 10.任意存在问题 二．知识点 【学习目标】
1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数； 3．了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法． 【知识要点】 1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：
，
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}?B. 2．映射的概念
设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射． 3．函数的特点
①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射； ②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素； ③关键是对应法则． 4．函数的表示法
函数的表示法：图示法、解析法． 5．判断两个函数为同一个函数的方法
两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等． 6．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数． 注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式． 三．典例分析及变式训练
（一）定义域陷阱
例1. 【曲靖一中2019模拟】已知
，若函数
在（﹣3，﹣2）上为减函数，且
函数A．
=在上有最大值，则的取值范围为（ ）
B．
C．
D．
【答案】A 【分析】由
在
上为减函数，可得
；由
在上有最大值，可得
，综上可得结果,.
【解析】
，且
，
又
在，
在
上单调递增，
在
上为减函数，
上恒成立，
在上有最大值，且
在上单调递减，且，
，解得
综上所述，
， ，故选A.
【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.
练习1. 【湖北2019重点中学联考】 若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=
A． （0，1] B． [0，1） C． （0，1）∪（1，4] D． （0，1） 【答案】D
的定义域是（ ）
【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题，是基础题．
（二）抽象函数的隐含条件陷阱
例1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数A． B． C． D． 【答案】D
【解析】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15， 令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7， 解得f（4）=3，
再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3， 解得f（2）=1． 故选：D．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．
满足:
，若
, 则