高考数学命题热点名师解密:专题(02)函数问题的解题规律(理)(含答案)

专题02 函数问题的解题规律

一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项

1.定义域陷阱

2.抽象函数的隐含条件陷阱 3.定义域和值域为全体实数陷阱 4.还原后新参数范围陷阱 5.参数范围漏解陷阱

6.函数求和中的倒序求和问题 7.分段函数问题 8.函数的解析式求法

9.恒成立问题求参数范围问题 10.任意存在问题 二.知识点 【学习目标】

1.了解映射的概念,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数; 3.了解简单的分段函数,并能简单应用; 4.掌握求函数定义域及解析式的基本方法. 【知识要点】 1.函数的概念

设A,B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:

其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然{f(x)|x∈A}?B. 2.映射的概念

设A,B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射. 3.函数的特点

①函数是一种特殊的映射,它是由一个集合到另一个集合的映射; ②函数包括定义域A、值域B和对应法则f,简称函数的三要素; ③关键是对应法则. 4.函数的表示法

函数的表示法:图示法、解析法. 5.判断两个函数为同一个函数的方法

两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时),则这两个函数相等. 6.分段函数

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用几个式子表示函数,这种形式的函数叫分段函数. 注意:不要把分段函数误认为是多个函数,它是一个整体,分段处理后,最后写成一个函数表达式. 三.典例分析及变式训练

(一)定义域陷阱

例1. 【曲靖一中2019模拟】已知

,若函数

在(﹣3,﹣2)上为减函数,且

函数A.

=在上有最大值,则的取值范围为( )

B.

C.

D.

【答案】A 【分析】由

上为减函数,可得

;由

在上有最大值,可得

,综上可得结果,.

【解析】

,且

在,

上单调递增,

上为减函数,

上恒成立,

在上有最大值,且

在上单调递减,且,

,解得

综上所述,

, ,故选A.

【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性,以及利用单调性求函数最值,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

练习1. 【湖北2019重点中学联考】 若y=f(x)的定义域为(0,2],则函数g(x)=

A. (0,1] B. [0,1) C. (0,1)∪(1,4] D. (0,1) 【答案】D

的定义域是( )

【点评】本题考查了抽象函数的定义域与应用问题,是基础题.

(二)抽象函数的隐含条件陷阱

例1. 【2019福建联考】已知定义在上的函数A. B. C. D. 【答案】D

【解析】f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且f(8)=15, 令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=7, 解得f(4)=3,

再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=3, 解得f(2)=1. 故选:D.

【点评】本题考查抽象函数的运用:求函数值,注意运用赋值法,考查运算能力,属于基础题.

满足:

,若

, 则

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