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防灾科技学院
2015~2016学年 第一学期期中考试
概率论与数理统计（2008214）试卷（A）参考答案与评分标准
题号 一 二 三 总分 阅卷教师 得分
阅卷教师
得 分 一、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件
Ai={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“三幢楼房经评估鉴定全部不安全” 用A1、A2、A3可表示为 A1A2A3 .
2、设事件A、B相互独立，P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，则P(AB)? 0.2 ； 3、甲、乙两人各自同时向敌机射击，甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率 0.9 ；
4、已知10件产品中有2件次品，现进行两次不放回抽样，每次取一件，则恰有一件次品的概率为
1645；
5、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?2?k，k?1,2,?，则参数??13；???0,x?0,6、随机变量X的分布函数是F(x)???sin2x,0?x??,，则随机变量X的概率密
?4????1,x?4.第1页 共3页
?度函数为f(x)???2cos2x,0?x??4,；
??0,其他.7、假设某潜在震源区年地震发生数X服从参数为??3的泊松分布，则未来一年该震源区没有地震发生的概率为
e?3；
8、设随机变量X~N(2,?2)，P{X?4}?0.65，则P{X?0}? 0.35 ； 9、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布如下，则P{max{X,Y}?1}?0.16 ；
X01Y01 P0.40.6 P0.40.6
10、设随机变量X在(0,6)内服从均匀分布，令Y???0,X?4,1,X?4.，则Y的分布律为
?Y01pk21 .
33阅卷教师
得 分 二、（本大题共4小题，每题10分，共40分。）
11、在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡，它们的产量各占20%、35%、45%，并且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%。问： （1）质检员现任取一只该厂灯泡，则该灯泡是不合格品的概率为多少？
（2）若现在检出该只灯泡是不合格品，则该灯泡是丙厂生产的概率为多大？ 解：设A表示取到的灯泡是不合格品，B1,B2,B3分别表示取到的灯泡是由甲、乙、丙生产的.则 P(B1)?0.2,P(B2)?0.35,P(B3)?0.45,P(AB1)?0.05,
P(AB2)?0.04, P(AB3)?0.02. 于是 ……………(3分)（1）由全概率公式得P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)
?0.2?0.05?0.35?0.04?0.45?0.02?0.033.……(4分)
（2）由贝叶斯公式得P(B3)P(AB3)3A)?P(BP(A)?0.45?0.020.033?311.…………(4分)
?k阅卷教师
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12、设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)???x,1?x?e,今对X进行8
??0,其他,次独立观测，以Y表示X大于2的观测次数，求：
（1）常数k； （2）X的分布函数F(x)；（3）P{X?2}；（4）Y的分布律. 解：（1）1????ek??f(x)dx??1xdx?klnxe1?k，所以k?1. ……………(2分) （2）由F(x)??x??f(x)dx得
??0,x?1,?0,x?1,F(x)?????x11xdx,1?x?e,???lnx,1?x?e, ……………(3分)
???1,x?e.?1,x?e.（3）
P{X?2}?1?P{X?2}?1?F(2)?1?ln2. ……………(2分) （4）由题意可知Y~b(8,1?ln2).则Y的分布律为：
P{Y?k}?Ck?k8(1?ln2)k(ln2)8,k?0,1,2,,8. ……………(3分)
?x13、设随机变量X的概率密度为f(x)??e,x?0,X?
?0,其它，求Y?|X|的概率密度．解：(1)由于Y?|X|?0，故当y?0时，FY(y)?0；
当y?0时，FY(y)?P(Y?y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)?FX(y)?FX(?y). ……………(5分) (2)fY(y)?FY'(y). 当y?0时，fY(y)?0；
当y?0时，fY(y)?(FX(y)?FX(?y))'?fX(y)?fX(?y)?e?y.
所以Y的概率密度为f?e?y,y?0,Y(y)???0,y?0. ……………(5分)
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得 分 三、（本大题共3小题，16题16分，其余每题12分，共40
分。）
14、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???1,0?y?1,y?x?2?y,?0,其他.
求：（1）边缘概率密度fX(x)和fY(y)；（2）条件概率密度fX|Y(x|y). 解：（1）fX(x)??????f(x,y)dy
○
1当x?0或x?2时，fX(x)?0；
○
2当0?x?1时，f0x1dy????X(x)????0dy??0x0dy?x； ○
3当1?x?2时，f02?xX(x)????0dy??01dy????2?x0dy?2?x.
?x,0?x?1,所以f(x)??X?2?x,1?x?2， ……………(4分)
??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
○
1当y?0或y?1时，fY(y)?0；
○
2当0?y?1时，fy)??y0dx??2?yY(??y1dx????2?y0dx?2?2y；
所以f?2?2y,0?y?1，Y(y)???0,其他. ……………(4分)
（2）当0?y?1时，fY(y)?0，则
?1ff(x,y)f(x,y)?,y?x?2?y,X|Y(x|y)?f???2?2y ……………(4分) Y(y)2?2y??0，其他.
（2）因X与Y相互独立，则
21111P{X?2|Y?}?P{X?2}??2dx???. …………(3分)
1x2x12
2|
| | | | | | 15、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y X 0 1 -1 0.1 b 0 0.2 0.1 1 a 0.1 （3）P{X?2Y}?x?2y??f(x,y)dxdy
2??dx?x121已知P{X?Y?1}?0.4，（1）计算常数a和b；（2）求边缘分布律； 221211x11111dy?(1?)dx?(?)dx?(??lnx)??ln2.?1x22?1x22xx2x2221
…………(3分)
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（3）计算P{X?0|Y?0}；（4） 判断X,Y是否相互独立，并说明理由. 解：（1）P{X?Y?1}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?a?0.1?0.4,所以a?0.3. 由归一性，0.1?0.2?a?b?0.1?0.1?1,所以b?0.2. ……………(2分)（2）P{X?0}?0.6，P{X?1}?0.4，
P{Y??1}?0.3，P{Y?0}?0.3，P{Y?1}?0.4. ……………(5分)（3）P{X?0|Y?0}=P{X?0,Y?0}P{Y?0}?0.20.3?23. ……………(2分)（4）P{X?0,Y??1}?0.1,P{X?0}P{Y??1}?0.6?0.3?0.18,
P{X?0,Y??1}?P{X?0}P{Y??1},所以X,Y不相互独立.…………(3分)?16、设X，Y是两个相互独立的随机变量，X的概率密度fx)??1?x2,x?1,X(??0,其他. Y服从(0,1) 上的均匀分布，求：（1）X和Y的联合概率密度f(x,y)；
（2）P{X?2|Y?12}；（3）P{X?2Y}；（4）Z?X?Y的概率密度fZ(z).
解：（1）YU(0,1), f?1,0?y?1,Y(y)???0,其他. ?X与Y相互独立，所以f(x,y)?f)f?1,x?1,0?y?1,X(xY(y)??x2…………(3分)
??0,其他.第3页 共3页
（4）由卷积公式得fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx，
fX(x)fY(z?x)?0即：x?1，0?z?x?1. ○
1当z?1时，f??Z(z)????0dx?0; ○
z2当1?z?2时，fZ(z)??z111x2dx??x?1?1; 1z○3当z?2时，f(z)??z11z1z?1x2dx??x??1Z. z?1z?1z???0,z?1,所以fz)???1?1Z(,1?z?2， ?z??11?z?1?z,z?2.
这样看起来，反而是朝生暮死的蝴蝶为可羡了。它们在短短的一春里尽情地酣足地在花间飞舞，一旦春尽花残，便爽爽快快地殉着春光化去，好像它们一生只是为了酣舞与享乐而来的，倒要痛快些。像人类呢，青春如流水一般的长逝之后，数十载风雨绵绵的灰色生活又将怎样度过？
…………(7分)