2011复旦大学插班生数学模拟题

2011复旦大学插班生数学模拟题

一.计算 1. limx?0?x2012x(1?x?x)e?1?x3(1?sin2t)dt2 2. lim

x?01?cosxx31t?1??1??,????1?是A的两个不同的特

?1??a二.设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1,

??2?????0???a??征向量,且A(?1??2)??2。

(1)求参数a的值;(2)求方程Ax??2的通解;(3)求矩阵A;(4)求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵。 三.求

??(x?y?z)dydz?(y?z?x)dzdx?(z?x?y)dxdy,其中?为

?|x+y-z|+|x+z-y|+|y+z-x|=1的外表面。

?1?x2?arctanx,x?0,(?1)n?四.设f(x)??x 试将f(x)展开成x的幂级数,并求级数?2x?0.1?4nn?1?1,?的和。

x2五.设常数a?0,讨论方程e?ax的实根的个数,证明你的结论。

六.设u?f(x,y,xyz),函数z?z(x,y)由方程

?zxyg(xy?z?t)dt?exyz确定,其中f可

微,g连续,求x?u?u?y。 ?x?y七.(1)设x>0时,F(x)??x1xt1f()dt??f()dt,其中f(x)在(0,??)连续且单调增

1xt加,试证F(x)在(0,??)也单调增加。

(2)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)?f(b)??,证明:在(a,b)内至少存在一点?,使f'(?)?f(?)??。

八.底面半径为a,高为h的无盖圆柱容器,倾斜地支放在桌面上,其轴线与桌面成45°。

试就a和h的不同情况,求容器的最大贮水量。

1

参考答案:

1sin2x2(1?sin2x2)x?2x2x22sin2x2x一.原式=lim dx?lim2(1?sin2x)?2lim[(1?sin2x)]x?0x?0sinxx?021112?2e

?limsin2x22x2x?0?2?2e?2

(1?x?312x1111x)e?(1?x?x2)(1?x?x2?x3?o1(x3))?1?x3?o2(x3), 222661321?x?(1?x)?1?13x?o3(x3) 211?x3?o(x3)(1?x?x2)ex?1?x3132 lim?lim??33x?0x?0xx3

二. 解:

(1)若?1,?2均为?1?0的特征向量,则有

A(?1??2)?A?1?A?2?0??1?0??2?0??2,矛盾。

若?1,?2均为?2??3?1的特征向量,则有A(?1??2)?A?1?A?2?1??1?1??2??2,同样矛盾。

可见?1,?2是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量,且?1是属于特征值?1?0的特征向量,?2是属于特征值?2??3?1的特征向量,根据实对阵矩阵的性质,?1,?2必

T正交,故有?1?2?1?a?0,得a?1。

?0??1?,可见秩r(A)=2,于是齐次线性方程组Ax=0

(2)因为A可对角化,且A????1???的基础解系所含解向量的个数为1。而A?1?0??1?0,因此?1可作为Ax=0的基础解系。

?1??1?????故Ax??2的通解为x??2?k?1??1?k1,其中k为任意常数。 ???????1???0???x1??? (3)设?2??3?1的另一特征向量为?3?x2,则?3与?1正交,不妨进一步要求?3与????x3??

2

??1???1T?3?x1?x2?0??,解得?3?1。 ?2也正交,则有?T????2?3?x1?x2?x3?0??2???01?1??11?1????? ?1故A?[?1?1,?2?2,?3?3][?1,?2,?3]?0?111?11??????012????012???1?1??01?1??330??2??1?2?22????1??0?11??6???2??012?????112???0????1?0?2?10?。 ?201???? (4)因为?1,?2,?3已经两两正交,只需单位化:

?1??1???1????1??1??1???1?1?1?11? ,?2?2?,?3?3??????|?1||?||?|32623?????10?????2???000???T令Q???1,?2,?3?,则Q为正交矩阵,且有QAQ?010。

????001??三..由Gauss公式,原式=3 ???dxdydz,由V为曲面|x+y-z|+|x+z-y|+|y+z-x|=1所围立体,

V作变换u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y,

?u?xD(u,v,w)?v?则

D(x,y,z)?x?w?x?u?y?v?y?w?y?u?z1?11?vD(x,y,z)1?11?1?4,因而?。 ?zD(u,v,w)4?111?w?z11114?1?,故八面体的体积为8??。 32663又区域V变为|u|+|v|+|w|《1,这是一个对称于坐标原点的正八面体,且在第一封限的部分由平面u+v+w=1,u=0,v=0,w=0围成,体积为?故原式=3?

四.解:

x?1n2narctanx??(arctanx)dx??dx?((?1)x)dx ??0n?0001?x2x'x14??1。 43 3

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