2011复旦大学插班生数学模拟题
一．计算 1. limx?0?x2012x(1?x?x)e?1?x3(1?sin2t)dt2 2. lim
x?01?cosxx31t?1??1??,????1?是A的两个不同的特
?1??a二．设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1，
??2?????0???a??征向量，且A(?1??2)??2。
（1）求参数a的值；（2）求方程Ax??2的通解；（3）求矩阵A；（4）求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵。 三．求
??(x?y?z)dydz?(y?z?x)dzdx?(z?x?y)dxdy，其中?为
?|x+y-z|+|x+z-y|+|y+z-x|=1的外表面。
?1?x2?arctanx,x?0,(?1)n?四．设f(x)??x 试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数?2x?0.1?4nn?1?1,?的和。
x2五．设常数a?0，讨论方程e?ax的实根的个数，证明你的结论。
六．设u?f(x,y,xyz)，函数z?z(x,y)由方程
?zxyg(xy?z?t)dt?exyz确定，其中f可
微，g连续，求x?u?u?y。 ?x?y七．（1）设x>0时，F(x)??x1xt1f()dt??f()dt，其中f(x)在(0,??)连续且单调增
1xt加，试证F(x)在(0,??)也单调增加。
（2）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)??，证明：在(a,b)内至少存在一点?，使f'(?)?f(?)??。
八．底面半径为a，高为h的无盖圆柱容器，倾斜地支放在桌面上，其轴线与桌面成45°。
试就a和h的不同情况，求容器的最大贮水量。
1
参考答案：
1sin2x2(1?sin2x2)x?2x2x22sin2x2x一．原式=lim dx?lim2(1?sin2x)?2lim[(1?sin2x)]x?0x?0sinxx?021112?2e
?limsin2x22x2x?0?2?2e?2
(1?x?312x1111x)e?(1?x?x2)(1?x?x2?x3?o1(x3))?1?x3?o2(x3)， 222661321?x?(1?x)?1?13x?o3(x3) 211?x3?o(x3)(1?x?x2)ex?1?x3132 lim?lim??33x?0x?0xx3
二． 解：
（1）若?1,?2均为?1?0的特征向量，则有
A(?1??2)?A?1?A?2?0??1?0??2?0??2，矛盾。
若?1,?2均为?2??3?1的特征向量，则有A(?1??2)?A?1?A?2?1??1?1??2??2，同样矛盾。
可见?1,?2是属于实对称矩阵A的两个不同特征值的特征向量，且?1是属于特征值?1?0的特征向量，?2是属于特征值?2??3?1的特征向量，根据实对阵矩阵的性质，?1,?2必
T正交，故有?1?2?1?a?0，得a?1。
?0??1?，可见秩r（A）=2，于是齐次线性方程组Ax=0
（2）因为A可对角化，且A????1???的基础解系所含解向量的个数为1。而A?1?0??1?0，因此?1可作为Ax=0的基础解系。
?1??1?????故Ax??2的通解为x??2?k?1??1?k1，其中k为任意常数。 ???????1???0???x1??? （3）设?2??3?1的另一特征向量为?3?x2，则?3与?1正交，不妨进一步要求?3与????x3??
2
??1???1T?3?x1?x2?0??，解得?3?1。 ?2也正交，则有?T????2?3?x1?x2?x3?0??2???01?1??11?1????? ?1故A?[?1?1,?2?2,?3?3][?1,?2,?3]?0?111?11??????012????012???1?1??01?1??330??2??1?2?22????1??0?11??6???2??012?????112???0????1?0?2?10?。 ?201???? （4）因为?1,?2,?3已经两两正交，只需单位化：
?1??1???1????1??1??1???1?1?1?11? ，?2?2?，?3?3??????|?1||?||?|32623?????10?????2???000???T令Q???1,?2,?3?，则Q为正交矩阵，且有QAQ?010。
????001??三．．由Gauss公式，原式=3 ???dxdydz，由V为曲面|x+y-z|+|x+z-y|+|y+z-x|=1所围立体，
V作变换u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y,
?u?xD（u,v,w)?v?则
D(x,y,z)?x?w?x?u?y?v?y?w?y?u?z1?11?vD(x,y,z)1?11?1?4，因而?。 ?zD(u,v,w)4?111?w?z11114?1?，故八面体的体积为8??。 32663又区域V变为|u|+|v|+|w|《1,这是一个对称于坐标原点的正八面体，且在第一封限的部分由平面u+v+w=1,u=0,v=0,w=0围成，体积为?故原式=3?
四．解：
x?1n2narctanx??(arctanx)dx??dx?((?1)x)dx ??0n?0001?x2x'x14??1。 43 3