第五章 第五章
晶体中电子能带理论
思考题
3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]
b2、 b3, 而波矢空间的基波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为b1、 b2/N2、 b3/N3, N、N、N分别是沿正格子基矢a1、 a2、 a3方向晶体的原矢分别为b1/N1、123胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
b1?( b2 ?b3)??,
*波矢空间中一个波矢点对应的体积为
b1N1?(b2N2?b3N3)??*N,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢Kn正交, 则禁带的宽度V(Kn)是周期势场的付里叶级数的系数.
Eg?2V(Kn),
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加速度为
.
但Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有 .
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 10. 电子的有效质量m变为?的物理意义是什么? [解答]
*
a?1m(F?Fl)a?1m*F仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功m?*?(dE)外场力对电子作的功m?(dE)晶格对电子作的功m
1m?(dE)外场力对电子作的功?(dE)电子对晶格作的功?.
*
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量m变为?. 此时电子的加速度
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答]
ma?1*F?0将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量k//和垂直于布里渊区边界的分量k┴. 则由电子的平均速度
??1??kE(k)得到
?//????1?E??k//, 1?E??k?.
等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有?E/?k?=0, 即垂直于界面的速度分量??为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.
第五章 晶体中电子能带理论
习题
１．晶体常数为a的一维晶体中，电子的波函数为 （1）?k?x??icos（2）?k?x???3?ax,
?l?-?f(x?la),f是某一函数，
求电子在以上状态中的波矢．
［解 答］
由《固体物理教程》（5.14）式
?k??????ir?Rnr?Rn?e?k?r?
?可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足
?k?x?a??e?k?x?
ika由此得 (1) 于是
eika??1 因此得
k???a,?3?a,?5?a,?
?k?x?a??icos?ika?3??a??x?a???icos?????3??x?????icos?x?aa????
3????k?x??e?k?x?若只取布里渊区内的值： ??a?k?a，则有
k?(2) ?k?x?a????a
??l???f(x?a?la)??l???f[x?(l?1)a].
令
l??l?1 得
?k?x?a??由上式知 eika=1 所以有 k?0,?2?a,?4?a,?6?a,??f?x?la????x??e'kika?k?x?.
因此得在布里渊区内的值为
k?0
3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度． ［解 答］
根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为 Eg?2Vn，
其中Vn是周期势场V?x?傅里叶级数的系数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式 Vn=
1a ?a2?a2V?x?e?i2?anxdx
求得，第一禁带宽度为
Eg1?2V1=2
1a?a2?a2V?x?e?i2?axdx
=2
4b?1bmW22?b[b?x]e22?i2?axdx
=2
14b?bmW222?b???22[b?x]cos?x?dx
2b?? =第二禁带宽度为
8mWb2?3.
Eg2?2V2=2
1b1a?a2?a2V?x?e?i4?axdx
=2
4b?mW22?b[b?x]e22?i?bxdx
=2
14b?2bmW22?b???22[b?x]cos?x?dx
?b? =
mWb2?2
4.已知一维晶格中电子的能带可写成 E?k??1?7??coska?cos2ka??， 2ma?88??2式中ａ是晶格常数．m是电子的质量，求
（1）能带宽度，
（2）电子的平均速度，
（3）在带顶和带底的电子的有效质量． ［解 答］
（1）能带宽度为 ?E?Emax?Emin. 由极值条件
dE?k?dk?0
得
上式的唯一解是sinka?0的解，此式在第一布里渊区内的解为 k?0,?a.
当k?0时,E?k?取极小值Emin，且有 Emin=E?0??0 当k??a时,E?k?，E(k)取极大值Emax2,且有
Emax2?????E???. 2ama??由以上可得能带宽度为
?E?Ema?xEmi?n2?ma22.
（2）由《固体物理教程》（5.81）式，得电子的平均速度为 v?1dE?k??dk???1??sinka?sin2ka?. ma?4?（3）由《固体物理教程》（5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为 m????2??2??E??k2???????k??k???a1???m?coska?cos2ka?2???a?1k???a??23m.
m?k?0???2??2??E2???k??1?1???m?coska?cos2ka??2?????k?0k?0?2m.
５．对简立方结构晶体，其晶格常数为a．
（1）用紧束缚方法求出对应非简并ｓ态电子的能带；
（2）分别画出第一布里渊区［110］方向的能带﹑电子的平均速度、有效质量以及沿［110］方向有恒定电场时的加速度曲线． ［解 答］
（1）非简并ｓ态电子的能带
???k?Rnat Esk?Es?Cs?Js?e.
??n式中Rn是晶体参考格点最近邻格矢．对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻．取参考格点的坐标为（0,0,0）,则6个最近邻点的坐标为 ??a,0,0?,?0,?a,0?,?0,0,?a?. 简单立方体非简并s态电子的能带则为
?atEsk?Es?Cs?2Js?coskxa?coskya?coskza?.
???