所以 f(k)?k2k?(k)?2k?(k)?(k?1)2k?(k)
三、计算题
1、系统的微分方程为y?(t)?2y(t)?f(t)，求输入f(t)?e?t?(t)时的系统的响应。（用傅氏变换求解） 解：y?(t)?2y(t)?f(t)
两边求傅氏变换，jwY(jw)?2Y(jw)?F(jw)
H（jw）=
Y(jw)1? F(jw)jw?2?f(t)?e?t?(t)?F(jw)???(w?1)? 1j(w?1)11???(w?1)? jw?2j(w?1)Yf(jw)?F(jw)?H(jw)?2、已知某离散系统的差分方程为
2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1) 其初始状态为y(0)?0,y(1)?1.5，激励e(k)??(k)；
(1) 画出该系统的模拟框图。 (2) 求该系统的单位函数响应h(k)。
(3) 求系统的全响应y(k)，并标出受迫响应分量、自然响应分量、瞬态响应分量和
稳态响应分量。
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解：(1)y(k?2)?1.5y(k?1)?0.5y(k)?0.5e(k?1)
0.5x(k)∑y(k)D1.5D-0.5 （＋4分）
(2)H(z)?z0.5z， H(z)?2z2?3z?1z2?1.5z?0.5zz （＋2分） ?z?1z?0.5特征根为?1=0.5，?2=1
H(z)?h(k)= (1?0.5k)?(k) （＋2分） （3）求零状态响应： Yzs(z)=H(z)E(z)=
zzzzz????
2z2?3z?1z?1z?0.5z?1(z?1)2零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k?1)?(k)
yzs(0)?0，yzs(1)?0.5
（＋2分）
yzi(0)?y(0)?yzs(0)?0
yzi(1)?y(1)?yzs(1)?1
（＋2分）
根据特征根，可以得到零输入响应的形式解： yzi(k)=(C10.5k+C2)?(k)； 代入初始条件得C1= ?2，C2=2 零输入响应：yzi(k)= (2?2 0.5k)?(k)
（＋2分）
全响应：y(t)?yzi(k)?yzs(k)?(1?k?0.5k)?(k)（＋2分） 自由响应：(1 ?0.5k)?(k)
受迫响应：k?(k)，严格地说是混合响应。
（＋2分）
瞬态响应分量?0.5k?(k) 稳态响应分量(1+k)?(k)
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（对于?(k)，可以划归于自由响应，也可以划归于受迫响应。 k?(k)可以归于稳态响应，或者明确指定为不稳定的分量但是不可以指定为暂态分量）
3、某LTI系统的初始状态一定。已知当输入f(t)?f1(t)??(t)时，系统的全响应
y1(t)?3e?tu(t)；当f(t)?f2(t)?u(t)时，系统的全响应y2(t)?(1?e?t)u(t)，当输入
） f(t)?tu(t)时，求系统的全响应。解：（用S域分析方法求解）
由Y(s)?Yx(s)?Yf(S)?Yx(s)?H(s)F(s) 由于初始状态一定，故零输入响应象函数不变
3?Y(s)?Yx(s)?H(s)???1s?1 ??Y(s)?Yx(s)?H(s)?1?1?12?sss?1??H(s)???求解得：??Yx(s)???1s?1 2s?1当输入f(t)?tu(t)时，全响应
Y3(s)?Yx(s)?H(s)?1211???s2s?1s?1s2
2111311???????s?1s?1ss2s?1ss2?y3(t)?(3e?t?1?t)?(t)
4、已知信号f(t)的频谱F(j?)如图（a），周期信号p(t)如图（b）,
试画出信号y(t)?f(t)p(t)的频谱图。
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F(j?)1?1o?1
图a
p(t)1?-2π-π?o?π6π6πt
2π图b 解：G?(t)?3?????Sa?? 3?6?(+3分)
p(t)?G?(t)*??(t)?P(?)?32?????Sa???2(?) 3?6??-2π-ππ3o?π62?3π6P(?)3π?2πt
(+6分)
p(t)f(t)?1P(?)*F(j?) 2? 14
1332?32?...-1
(+6分)
...12?
5、已知离散系统的单位序列响应h(k)=2kε(k)，系统输入f(k)=ε(k-1)。求系统的零状态响
应响应yf(k)。
解：系统输入f(k)的单边Z变换为
F(z)?Z[?(k?1)]?z?1?z1 |z|?1 ?z?1z?1 系统函数为H(z)?Z[h(k)]?Z[2k?(k)]?z |z|?2 z?2 根据式(7.5-7),系统零状态响应的单边Z变换为 Yf(z)?Z[yf(k)]?H(z)F(z)? 于是得系统的零状态响应为
zz2z??? |z|?2
(z?1)(z?2)z?1z?2yf(k)?Z?1[Yf(z)]?(2k?1?1)?(k)
6、已知线性连续系统的冲激响应h(t)?e?2t?(t)，输入f(t)??(t)??(t?1)。求系统的零状态响应yf(t)。 解：系统函数H(s)为
H(s)?L[h(t)]?1 s?2 15