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专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题
一．方法综述
利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧． 二．解题策略
类型一 “比较法”构造差函数证明不等式
【例1】【2018届广州模拟】已知函数f?x?＝e－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处
x的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f?x?的极值； (2)证明：当x＞0时，x＜e. 【答案】见解析. 【解析】
2x
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(2)证明：令g?x?＝ex－x2，则g??x?＝ex－2x. 由(1)得g??x?＝f?x??f?ln 2?＞0， 故g?x?在R上单调递增．
所以当x＞0时，g?x?＞g?0?＝＞10，即x2＜ex. 【指点迷津】
当题目中给出简单的基本初等函数，例如f?x?＝x3，g?x?＝ln x，进而证明在某个取值范围内不等式
f?x??g?x?成立时，可以类比作差法，构造函数h?x?＝f?x?－g?x?或??x?＝g?x?－f?x?，进而证明h?x?min?0或??x?max?0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明g?x??0?f?x??0?的前提下，也可以类比作商法，构造函数h?x?＝ h?x?min?1???x?max?1?．【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数
(Ⅰ) 设函数（Ⅱ）求证：当
，讨论函数时，
的单调性；
，
f(x)f(x)(?(x)=)，进而证明g(x)g(x)【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】
灿若寒星
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（Ⅱ）要证当当当∴∴∵∴
，∴，即
，
成立，故原不等式成立．
，
在区间时，
时，时，
；当
时，
，∴
，即证
，令
成立；
，
，
上单调递增，
． ，
上单调递减，在区间
类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式
【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数(1)若
上存在极值，求实数m的取值范围；
.
(2)求证：当【答案】（1）【解析】
灿若寒星
时，
;（2）见解析
．