高考数学压轴题命题区间探究与突破(第一篇)专题04学案

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专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题

一.方法综述

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型.利用导数证明不等式,关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的,这时常常需要构造辅助函数来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里给出几种常用的构造技巧. 二.解题策略

类型一 “比较法”构造差函数证明不等式

【例1】【2018届广州模拟】已知函数f?x?=e-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处

x的切线斜率为-1.

(1)求a的值及函数f?x?的极值; (2)证明:当x>0时,x<e. 【答案】见解析. 【解析】

2x

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(2)证明:令g?x?=ex-x2,则g??x?=ex-2x. 由(1)得g??x?=f?x??f?ln 2?>0, 故g?x?在R上单调递增.

所以当x>0时,g?x?>g?0?=>10,即x2<ex. 【指点迷津】

当题目中给出简单的基本初等函数,例如f?x?=x3,g?x?=ln x,进而证明在某个取值范围内不等式

f?x??g?x?成立时,可以类比作差法,构造函数h?x?=f?x?-g?x?或??x?=g?x?-f?x?,进而证明h?x?min?0或??x?max?0即可,在求最值的过程中,可以利用导数为工具.此外,在能够说明g?x??0?f?x??0?的前提下,也可以类比作商法,构造函数h?x?= h?x?min?1???x?max?1?.【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数

(Ⅰ) 设函数(Ⅱ)求证:当

,讨论函数时,

的单调性;

f(x)f(x)(?(x)=),进而证明g(x)g(x)【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】

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(Ⅱ)要证当当当∴∴∵∴

,∴,即

成立,故原不等式成立.

在区间时,

时,时,

;当

时,

,∴

,即证

,令

成立;

上单调递增,

. ,

上单调递减,在区间

类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式

【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数(1)若

上存在极值,求实数m的取值范围;

.

(2)求证:当【答案】(1)【解析】

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时,

;(2)见解析

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