南平市2018-2019学年第一学期高一期末教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、A 8、B 9、D 10、A 11、D 12、B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13、?1 14、
4?32 15、7 16、
33xy??1,即x?y?2?0 ……4分 ?22三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、解：(1) 直线l的方程为 (2) |AB|?22?(?2)2?22 ……6分
点C到直线l的距离d?|3?1?2|?22 ……8分 21?22?22?4 ……10分 2因此三角形ABC的面积?18、(1)证明：设1?x1?x2 则f(x1)?f(x2)?x1?2x2?23(x2?x1) ……4分 ??x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)∵1?x1?x2，∴x2?x1?0,x1?1?0,x1?1?0∴f(x1)?f(x2) ∴函数f(x)在区间(1,??)上是单调递减函数 ……7分 (2)解：由(1)知f(x)在区间[3,5]上单调递减．
57；f(x)的最小值为f(5)? 2457∴f(x)在区间[3,5]的最大值为；最小值. ……12 分
24∴f(x)的最大值为f(3)?19、解:
(1)取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB
……2分
平面ABC?AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.
D 由已知可得DE?23,CE?2.在Rt△DEC中，
CD?DE2?EC2?4.
……6分
A （2）当△ADB以AB为轴转动时，直线AB和CD所成的角为90?(定值) E ……8分
B C
证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即直线AB和CD所成的角为90?(定值). ……9分
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（1）知AB⊥DE. 又因AC=BC，所以AB⊥CE. 又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，直线AB和CD所成的角为90?(定值). ……12分
20、(1)解:由题意得
13?1,
解得a?3.……3分 ?1?a2113x?31?x?233(2) 证明:因为f(1?x)?f(x)?1?x?x?? x1?x33?33?33(3?3?23)所以函数y?f(x)的图象关于点M(,13)对称. ……8分 26(3)解:由(2)知f(1?x)?f(x)?3, 3则f(?4)?f(5)?33 3,f(?3)?f(4)?,,f(?2)?f(3)?333f(?1)?f(2)?故
33 ,f(0)?f(1)?.33f(?4)?f(?3)?f(?2)?f(?1)?f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?……12分
21、（1）证明: 因为f(?x)?3(?x)3?2(?x)??3x3?2x??f(x), 所以f(x)是奇函数. ………………………………2分
（2）f(x)是(??,??)上的增函数. ……………………………………2分 (3)由（1）、（2）知f(x)是奇函数且是(??,??)上的增函数，
53.322由f(mlog3k)?f(?log3k?log3k?3)得mlog3k??log3k?log3k?3,……8分 2令log3k?t,因为k?3,所以t?1,由mt??t?t?3可得m??(t?)?1.
3t令g(t)??(t?)?1,t?(1,??).
因为函数g(t)是(1,3)上的增函数,(3,??)上的减函数,所以
3tgma(tx)?g(3)?1?23.
(用均值不等式求最值,照常给分)
故实数m的取值范围是(1?23,??).……12分
22、解:(1)设动圆心M(x,y),圆M的半径为r,则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|和
|x|.……2分
?圆M截y轴所得劣弧所对的圆心角为90?,?圆M截y轴所得弦长为2r，则
r2?2x2.
又?圆M截x轴所得的弦长为2,?r?y?1.从而2x?y?1,故圆心M的轨迹方程为2x?y?1.……6分
222222