南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿
第一章 随机事件与概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机试验与样本空间
概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的；
（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；
（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母?和?表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间?。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间?就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
例1.1.1 E1：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间?简化为：?={正面,反面}。
E2：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现
的点数。样本空间为：??{1,2,3,4,5,6}。
E3: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到
?={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) }
读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？
E4：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进
行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为
??{1,2,3,,n,}，
其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为??{0,1,2,?}。
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E5：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取
??{?,??[0,2.5]}就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取??{?,??[0,200]}也
许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。
200]}。 □ 因此，样本空间是??{??(?1,?2)?(高度,重量)?[0,2.5]?[0，
1.1.2 随机事件
随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母A,B,C,D,记之。
1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运算
通常用希腊字母?表示样本空间, ?表示样本点。称“?是?的成员”或者“?属于?”，或者“?是?的元素”，记为???.
如果?不是试验的一个可能结果，那么?不是?的元素，则记为???. 一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用A??表示事件A是?的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合A,B,A1, A2 ,, An等都是?的子集，而不再每次申明。
1. 事件的包含—集合的包含 集合A?B即“A包含于B”，意为A中元素都在B中，或说，如果??A，必有??B。对应于事件，表示A的样本点都在B中，即当A的样本点出现于试验结果B之中，即A发生时，B当然也就发生了，或说“A的发生必导致B的发生”。
图1.1 A?B的文氏图
2. 事件的相等—集合的相等
称集合A和B相等，并记为A?B，是说“A?B且B?A”。对应于事件，称A和B相等，记为A?B，就是“如果A发生，则B必然发生，同样如果B发生，则A必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。
3. 事件的并（和）—并集
集合A和B的并集记为AB,它的元素或者属于A，或者属于B（当然有的可能同时属于A和B），即A有一个发生”。
B???:??A或??B?。对应事件的并AB表示“A或B至少
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图1.2 AB的文氏图
, An的并Ai?A1A2i?1n并的概念可以推广到n个事件和可数个事件,A1, A2 ,表示“Ai (i?1,2,?An的并
,n)中至少有一个发生”；可数个事件A1, A2 ,, An,i?1?Ai?A1?A2???An?表示“Ai (i?1,2,4. 事件的交（积）—交集 两个集合A和B的交集记为A,n,)中至少有一个发生”。
B，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即
AB?{?:??A且??B}
对应于事件的交AB表示“A和B同时发生”。AB常简记作AB。
图1.3 AB的文氏图
ni?1
类似地，交得概念也可以推广到n个事件的交,件Ai (i?1,2,Ai?A1A2A2AnAn表示“n个事
表示“可数
,n)同时发生”，可数个事件的交
,n,)同时发生”。
?i?1Ai?A1个事件Ai (i?1,2,5. 逆事件（对立事件）—补集
?的子集A的补集记为A，它是由属于?但不属于A的元素构成的集合，因为仅牵涉
到属于?（样本空间）的点，集合A就是由那些不属于A元素组成的。记为
A?{?:???且??A}
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