北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）
2019.5
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）C （4）C （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）四 （10）9（答案不唯一） （11）?1,1?63 （12） ?3 （13）??2,0?(12,??) （14）3[1,4]
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ACD中，设AD?x(x?0)，
由余弦定理得
7=x2?4x2?2x?2x?cos23?， 整理得7x2?7，解得x?1. 所以AD?1,CD?2.
由正弦定理得DCsin?DAC?AC，解得
sin?DAC?21sin27.3? （Ⅱ）由已知得S ?ABC?4S?ACD，所以1
2AB?AC?sin?BAC?4?12AD?AC?sin?CAD， 化简得AB?sin?BAC?4AD?sin?CAD.
所以
AB?2sin?CAD?cos?CAD?4AD?sin?CAD,
于是AB?cos?CAD?2AD. 因为sin?CAD?217，且?CAD为锐角， 所以cos?CAD?1?sin2?CAD?277.
............................6分
1
因此AB?7. ...............13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意可知， X的所有可能取值为 9,12,15,18,24，
且P(X?9)?320；P(X?12)?5720；P(X?15)?20； P(X?18)?220；P(X?24)?320.
所以X的分布列为： X 9 12 15 18 24 P 3 57232020 20 20 20 故X的数学期望E(X)?9?320+12?520+15?720+18?220+24?320=15.............................5分 （Ⅱ）当P(a?X?b)取到最大值时，
a,b的只可能为：??a?9,?a?12,?a?18,b?15,或?或?b?18,?b?24.
?? 经计算P(9?X?15)?1520，P(12?X?18)?1420，P(18?X?24)?520， 所以P(a?X?b)的最大值为15320=4. ............................10分
（Ⅲ）至少增加2人 ............................13分
（17）（共14分） 解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，AB∥CD． 因为AB?平面ABE，CD?平面ABE， 所以CD∥平面ABE．
因为CD?平面CDE，且平面ABE平面CDE?EF，
所以CD∥EF． ............................4分
（Ⅱ）如图，取AD的中点N，连接BN，EN.在等腰△ADE中，EN?AN.
因为平面ADE?平面ABCD，交线为AD， 又EN?AD，所以EN?平面ABCD. 所以EN?BN. 由题意易得AN?BN.
如图建立空间直角坐标系N?xyz，
则N(0,0,0),A(2,0,0)，B(0,23,0)，C(?3,3,0)， D(?2,0,0)，E(0,0,2)．
2
因为EF?CD，所以F(?1,3,2).
BF?(?1,?3,2),BC?(?3,?3,0), 设平面BCF的法向量为n?(x,y,z)，则???n?BF?0, 即????x?3y?2z?0, ??n?BC?0,???3x?3y?0. 令y?3，则x??1,z?1．
于是n?(?1,3,1)．
又平面ABCD的法向量为NE?(0,0,2)， 所以cos?n,NE??n?NEnNE?55． 由题知二面角A-BC-F为锐角， 所以二面角A-BC-F的余弦值为
55. ............................9分 （Ⅲ）不存在满足条件的点M，使AM?EM，理由如下：
若AM?EM，则EM?AM?0．
因为点M为线段BC上的动点，设CM?tCB(0?t?1),，M(u,v,0)．
则(u?3,v?3,0)?t(3,3,0)， 解得M(3t?3,3+3t,0)．
所以EM?(3t?3,3?3t,?2)，AM?(3t?5,3?3t,0)． 所以EM?AM?(3t?3,3?3t,?2)?(3t?5,3?3t,0)=0． 整理得2t2?3t?3?0，此方程无实根．
所以线段BC上不存在点M，使AM?EM. ............................14分
18）（共13分） 解：（Ⅰ）由已知得1?p2?2，所以p?2. 所以抛物线C的方程为y2?4x，焦点F的坐标为?1,0?. ............................4分（II）设点A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得Q(?1,?2)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y?k?x?1??2(k?0) .
由???y2?4x，得2?y?k?x?1??2ky?4y?4k?8?0， ?3
（