北京市西城区2015年初三二模试卷
数 学 2015.6
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2015年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为
A. 0.12?109 B. 1.2?107 C. 1.2?108 D. 12?107 2．如图，BD∥AC，AD与BC交于点E，如果∠BCA=50°，∠D=30°， 那么∠DEC等于
A. 75° B. 80° C. 100° D. 120° 3．64的立方根是
A. ?8 B. ?4 C. 8 D. 4 4．函数y?x?2中，自变量x的取值范围是 A.x?2 B. x≥2
C. x＞2 D. x≥?2
5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC， 如果
AD2?，AC=6，那么AE的长为 AB3A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
6．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示． 节电量（千瓦时） 户数（户） 20 20 30 30 40 30 50 20 那么4月份这100户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是
A. 35 B. 26 C. 25 D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于 A. 2 B. 1 C.
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3 D. 23
8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O， 边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于 A．28° B．33° C．34° D．56°
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点， 若点A的坐标为(1,3)，则点C的坐标为
A．(3,1) B．(?1,3) C．(?3,1)
D．(?3,?1)
10．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(m,1)．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O
上存在点N，使得?OMN?45?，那么m的取值范围是
A．?1≤m≤1 B. ?1＜m＜1 C. 0≤m≤1 D. 0＜m＜1
二、填空题(本题共18分，每小题3分)
211．若(m?2)?n?1?0 则m?n? ．
12．若一个凸n边形的内角和为1080?，则边数n = ． 13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距
小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰 所成像的高度为______cm．
14．请写出一个图象的对称轴是直线x?1，且经过(0,1)点的二次函数的表达式：
_____________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?3x与双曲线y?（n≠0）在第一象限的公共点是P(1,m)．小明说：“从图象上可 以看出，满足3x?nx n的x的取值范围是x?1．”你同意他的 x观点吗？答： ．理由是 ．
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16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D为直线y?2x上且在第一
象限内的任意一点，DA1⊥x轴于点A1，以DA1为边在DA1的右侧 作正方形A1B1C1D；直线OC1与边DA1交于点A2，以DA2为边在 DA2的右侧作正方形A2B2C2D；直线OC2与边DA1交于点A3，以 DA3为边在DA3的右侧作正方形A3B3C3D，??，按这种方式进行下去，则直线OC1对
应的函数表达式为 ，直线OC3对应的函数表达式为 .
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在AB，BC
的延长线上，BD=CE，连接AE，CD． 求证：∠E＝∠D． 118．计算：2cos30?()?1?1?3?(3??)0.
319．已知x2?5x?4?0，求代数式(x?2)(x?2)?(2x?1)(x?2)的值． 20．解方程：
312． ??2x?3xx?3x21．列方程（组）解应用题：
某超市的部分商品账目记录显示内容如下：
商品 时间 牙膏(盒) 牙刷（支） 营业额（元） 求第三天卖出牙膏多少盒．
22．已知关于x的函数 y?mx?(m?3)x?3．
（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C
与点A重合，点D的落点记为点D′ ，折痕为EF，连接 CF． （1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=62，求线段D′F的长．
24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段 ——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.
2第一天 7 13 121 第二天 14 15 187 第三天 ？ 12 124 初三二模 数学试卷 第3页（共 13页）
根据以上信息解决下列问题：
（1）以下说法中，正确的是 （请填写所有正确说法的序号）
① 从2011年至2014年，全市常住人
口数在逐年下降； ② 2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；
③ 2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人； ④ 从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减. （2）补全“2014年末北京市常住人口分
布图”，并回答：2014年末朝阳、丰 台、石景山、海淀四区的常住人口 总数已经达到多少万人？
（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承
载能力，为控制人口过快增长，到 2015年底，北京市要将全市常住人 口数控制在2180万以内（即不超过 2180万）.为实现这一目标，2015年的
全市常住人口的年增长率应不超过 ．（精确到0.1%）
25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交 ⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG． （1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA=23时，求PG的长．
26．（1）小明遇到下面一道题：
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，∠ACB=30o，BE⊥AC于
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点E，且?CDE=?ACB．如果AB=1，求CD边的长．
小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△ 相似，CD的长度等于
，线段CD与线段 的长度相等；
他进一步思考：如果?ACB??（?是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD= ；（用含?的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题： 在Rt△OMN中，∠MON=90o，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且
l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得?NPQ??ONM． 请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知一次函数y1?kx?b（k≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数
y2?x2?2ax?4（其中a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若a?
5
，求当y1?0且y2≤0时，自变量x的取值范围； 2
②如果满足y1?0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a
的取值范围．
28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，
作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
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