【解析】(1)△AB1C1如图所示. (2)如图所示,A(0,1),C(-3,1).
(3)△A2B2C2如图所示,B2(3,-5),C2(3,-1).
18.路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120°角,锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(D在中心线上).已知点C与点D之间的距离为12m,求灯柱BC的高.(结果保留根号)
【解析】设灯柱BC的长为hm,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.
∴四边形BCHE为矩形. ∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.
又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.
在Rt△AEB中,
∴AE=ABsin30°=1,BE=ABcos30°=又∵CD=12,∴DH=12-在Rt△AHD中,
.
.∴CH=
.
tan∠ADH=解得,h=12
=-4.
=,
∴灯柱BC的高为(12-4)m.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,Rt△ABC的两直角边AC边长为4,BC边长为3,它的内切圆为☉O,☉O与边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,延长CO交斜边AB于点G.
(1)求☉O的半径长. (2)求线段DG的长.
【解析】(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=
=5,
∴☉O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1. (2)过G作GP⊥AC,垂足为P,设GP=x,
由∠ACB=90°,CG平分∠ACB,得∠GCP=45°, ∴GP=PC=x,
∵Rt△AGP∽Rt△ABC,
∴=,解得x=,
即GP=,CG=,
∴OG=CG-CO=-=,
在Rt△ODG中,DG==.
20.某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.
(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?
(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?
【解析】(1)设该基地种植A种生姜x亩,那么种植B种生姜(30-x)亩, 根据题意,2000x+2500(30-x)=68000, 解得x=14. ∴30-x=16.
答种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩.
(2)由题意得,x≥(30-x),解得x≥10. 设全部收购该基地生姜的年总收入为y元,则 y=8×2000x+7×2500(30-x) =-1500x+.
∵y随x的增大而减小,∴当x=10时,y有最大值. 此时,30-x=20,y的最大值为元.
答种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为元. 六、(本题满分12分)
21.甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A,B两个书店购书, (1)求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率. (2)求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率.
【解析】(1)甲、乙两名学生到A,B两个书店购书的所有可能结果有
从树状图可以看出,这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB,BA共2种,
所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率P(甲、乙两名学生在不同书店购书)=. (2)甲、乙、丙三名学生到A,B两个书店购书的所有可能结果有
从树状图可以看出,这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA,BBB共2种,
所以甲、乙、丙到同一书店购书的概率P(甲、乙、丙到同一书店购书)==. 七、(本题满分12分)
22.抛物线y=-x+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点. (1)求出m的值并画出这条抛物线. (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标. (3)x取什么值时,抛物线在x轴上方? (4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
2
【解析】(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)得m=3. ∴抛物线为y=-x2+2x+3.图象如图.
(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3. ∴抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线顶点坐标为(1,4).
(3)由图象可知当-1
23.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于D,F两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论. (2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由. (3)在(2)的情况下,求ED的长.
【解析】(1)EA1=FC. 证法一∵AB=BC,∴∠A=∠C.
由旋转可知,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF, ∴△ABE≌△C1BF. ∴BE=BF,又∵BA1=BC, ∴BA1-BE=BC-BF,即EA1=FC. 证法二∵AB=BC,∴∠A=∠C.
由旋转可知,∠A1=∠C,A1B=CB,而∠EBC=∠FBA1,∴△A1BF≌△CBE. ∴BF=BE,∴BA1-BE=BC-BF,即EA1=FC. (2)四边形BC1DA是菱形. ∵∠A1=∠ABA1=30°, ∴A1C1∥AB,同理AC∥BC1. ∴四边形BC1DA是平行四边形. 又∵AB=BC1,
∴四边形BC1DA是菱形.
(3)方法一过点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=1.