第2节 无界函数的反常积分
我们知道，在[a,b]上可积的函数都在[a,b]上有界。下面我们考虑如果f(x)在某点c?[a,b]的附近无界，该怎么积分?baf(x)dx？
如果f(x)在c的任意邻域内都无界，则c称为f(x)的瑕点（反常点）。分别如下3种情况。
（1）设f(x)在[a,b]上只有唯一的瑕点b；又设?t?[a,b)，
f(x)在[a,t]上都可积。考虑极限
?lim?f(x)dx???不存在，则称反常积分?baf(x)dx发散（不存在）；?0??b?a???A存在，则称A为f(x)在[a,b]上的反常积分，记为
?bb??af(x)dx?A??lim?0??af(x)dx
此时称?baf(x)dx收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在[a,b)上F(x)是f(x)的随便一个原函数，则
?b)dx?baf(x?lim?b?F(?)?F(a)?F(x)a （记住：b是怎样代进去的？）
（2）设f(x)在[a,b]上只有唯一的瑕点a；又设?t?(a,b]，
f(x)在[t,b]上都可积。考虑极限
?lim?0??ba??f(x)dx???不存在，则称反常积分?baf(x)dx发散（不存在）；???A存在，则称A为f(x)在[a,b]上的反常积分，记为
?bbaf(x)dx?A??lim?0??a??f(x)dx
此时称?baf(x)dx收敛。（先把积分区间缩小一点点。） 如果在(a,b]上F(x)是f(x)的随便一个原函数，则
3 离 散 数 学
bb?af(x)dx?F(a)?limF(?)?F(x)a ???a（记住：a是怎样代进去的？）
4 （3）设f(x)在[a,b]上只有全部的瑕点是x1?x2???xm。取
x1?c1?x2?2c???cm1??xm，记
d?b,dxj,k?2j?10?a,d?2mk??(1?j?m?1)。如果?cj,k?2j每一个
?di?1bdf(x)dx(0?i?2m?1)都独立地．．．
存在，则称反常积分ax)dx收i?f(敛，此时
?b2m?1?1af(x)dx???dii?0df(x)dx
i否则称?baf(x)dx发散。
关于（3）的解析：从（1）和（2）我们懂得了只有一个端点是瑕点的反常积分。对于有限个瑕点的反常积分，我们插进一些分点，把积分变成若干个独立的．．．只有一个端点是瑕点的反常积分的和。根据可加性，插进的这些分点是随意的。
【例2.1】 计算积分ò11-1x1-x2d．
解、全部瑕点：?1,1。
?111101??11?x2dx??01?11?x2dx??01?x2dx?arcsinx?1?arcsinx0?2??2?? （记住：?1,1是怎样代进去的？）
第1章 集 合
3212【例2.2】 计算积分ò解、全部瑕点：1。
dx|x-x|2．
?32121x?x12dx??111x?x22dx??321x?x121dx??1111?1???x??4?2?2x?1?t22dx??3211?1?x????2?4?221dx??111??2x?1?122d?2x?1???2321?2x?1?2?1d?2x?1???111?t20dt??1t?121dt??arcsint0??lnt?t2?1???ln2?3????12
??【例2.3】 证明：广义积分ò1pdx当p<1时收敛，当p31时
10x发散．
证、（1）设p?1。?（2）设p?1。?（2）设p?1。?1101111dx?dx?lnx???发散。 ?0x0xp0111?pdx?x???发散。 xp1?p0111?p1dx?x?收敛。 xp1?p1?p01110?101?收敛，p?11?? dx?1?ppx????发散，p?1?1dx的敛散性． -1x21【例2.4】 讨论积分ò10111111解、?2dx??2dx??2dx????发散，因为两个积分
?1x?1x0xx?1x001都发散。
11（在?2dx????2中，错误在哪里？）
?1xx?1115