初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案
初一数学竞赛讲座 图形与面积
一、直线图形的面积
在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法,数学竞赛中的面积问题不但具有直观性,而且变换精巧,妙趣横生,对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质: 1.两个可以完全重合的图形的面积相等;
2.图形被分成若干部分时,各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算,一些主要的面积公式应当熟记。如:
正方形面积边长×边长;矩形面积长×宽;平行四边形面积底×高; 三角形面积底×高÷2;梯形面积(上底+下底)×高÷2。 此外,以下事实也非常有用,它对提高解题速度非常有益。 1.等腰三角形底边上的高线平分三角形面积; 2.三角形一边上的中线平分这个三角形的面积; 3.平行四边形的对角线平分它的面积; 4.等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有:
1.观察图形,分析图形,找出图形中所包含的基本图形;
2.对某些图形,在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置(叫做等积变形);
3.作出适当的辅助线,铺路搭桥,沟通联系; 4.把图形进行割补(叫做割补法)。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗? 解:最容易想到的是将△ABC的底边4等分, 如左下图构成4个小三角形,面积都为原来的三 角形面积的。
另外,先将三角形△ABC的面积2等分(如右 上图),即取BC的中点D,连接AD, 则S△ABDS△ADC,然后再将这两个小三角 形分别2等分,分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的。还
有许多方法,如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例2 右图中每个小方格面积都是1cm2,那么六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米?
分析:解决这类问题常用割补法,把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形,分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积,从总面积中减去空 白处的面积,就是六边形的面积。 解法1:把六边形分成6块:
△ABC,△AGF,△PEF,△EKD,△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积,如
用S△ABC表示△ABC的面积。
故六边形ABCDEF的面积等于6+2+1++4+9
说明:当某些图形的面积不容易直接计算时,可以把这个图形分成几个部分,计算各部分的面积,然后相加,也就是说,可以化整为零。
解法2:先求出大正方形MNRQ的面积为6×636(cm2)。
说明:当某些图形的面积不易直接计算时,可以先求出一个比它更大的图形的面积,再减去比原图形多的那些(个)图形的面积,也就是说,先多算一点,再把多算的部分减去。
解法3:六边形面积等于
S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF6×2×+(3+6)×4×-3×1×6+18-1
说明:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度去观察同一个图形,会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想,解法就会多起来,这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
例3 如下图所示,BD,CF将长方形ABCD分成4块, △DEF的面积是4cm2,△CED的面积是6cm2。 问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
解:如下图,连结BF。则△BDF与△CFD面积相等, 减去共同的部分△DEF,可得△BEF与△CED面积相等,
等于6cm2。
四边形ABEF的面积等于
S△ABD-S△DEFS△BDC-S△DEFS△BCE+S△CDE-S△DEF9+6-411(cm2)。
问:两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和, 哪个大?
分析:只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因 为△ACE与△BDF的高相等(都是CD),所以只需比 较两个三角形的底AE与BF的大小。
因为△ACE与△BDF高相等,所以S△ACE>S△BDF。
减去中间空白的小四边形面积,推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。
例5 在四边形ABCD中(见左下图),线 段BC长6cm,∠ABC为直角,∠BCD为135°, 而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm,线 段ED的长为5cm,求四边形ABCD的面积。 解:延长AB,DC相交于F(见右上图), 则∠BCF45°,∠FBC90°,从而∠BFC45°。
因为∠BFC∠BCF,所以BFBC6(cm)。
在Rt△AEF中,∠AFE45°,所以∠FAE90°-45°45°,从而EFAE12(cm)。
故S四边形ABCDS△ADF-S△BCF102-1884(cm2)。
说明:如果一个图形的面积不易直接求出来,可根据图形的特征和题设条件的特点,添补适当的图形,使它成为一个新的易求出面积的图形,然
后利用新图形面积减去所添补图形的面积,求出原图形面积。 这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学 数学竞赛中已屡见不鲜。
例6 正六边形ABCDEF的面积是6cm2,M,N,P分别是所 在边的中点(如上图)。
问:三角形MNP的面积是多少平方厘米?
解法1:如左下图,将正六边形分成6个面积为正 1cm2的正三角形,将另外三个面积为1cm2的正三角形分
别拼在边BC,DE,AF外面,得到一个大的正三角形XYZ,其面积是9cm2。 这时,M,N,P分别是边ZX,YZ,Xy的中点,推知
解法2:如右上图,将正六边形分成6个面积为1cm2的正三角形,再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为的小正三角形。于是正六边形ABCDEF被分成了24个面积为的小正三角形。因为△MNP由9个面积为的小正三角形所组成,所以S△MNP×92.25(cm2)