二、圆与组合图形
以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。
1.圆的周长与面积
计算圆的周长与面积,有的直接利用公式计算,有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。主要公式有:
(1)圆的周长π×直径2π×半径,即Cπd2πr; (2)中心角为n°的弧的长度n×π×(半径)÷180,即1 (3)圆的面积π×(半径)2,即Sπr2;
(4)中心角为n°的扇形面积n×π×(半径)2÷360,即 例7 右图是三个半圆(单位:cm),其阴影部分 的周长是多少?
解:由图可知,阴影部分是由三个直径不同的半 圆周所围成,所以其周长为
说明:实际上,该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径,因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。
推而广之,若n个小圆的直径之和等于大圆的直径,即:d1+d2+d3+…+dnD, 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长,即 πd1+πd2+πd3+…+πdnπ(d1+d2+d3+…+dn)πD。
例8 某开发区的大标语牌上,要画出如下图所示(图形阴影部分)的三种标点符号:句号、逗号、问号。已知大圆半径为R,小圆半径为r,且R2r。若均匀
用料,则哪一个标点符号的油漆用得多?哪一个标点符号的油漆用得少?
分析:在均匀用料的情形下,油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。现在涉及到的基本图形是圆,弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成,是解该题的关键点和突破口。
解:因为S句号S大圆-S小圆πR2-πr2π(2r)2-πr23πr2
说明:留意我们的日常生活,不同于课本的“非常规”问题随处可见,如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题,需要细心观察、积极思考,考察转化的可能性和转化的途径。像上例那样,认真分析图形的特征和课本图形的基本关系,进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
2.圆与组合图形
在日常生活中,除了经常遇到直线型(如矩形、正方形、三角形、梯形等)以及曲线型(如圆、扇形等)的面积外,还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算,可以根据几何图形的特征,通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法,化复杂为简单,变组合图形为基本图形的加减组合。
例9 下图中,ABCD是边长为a的正方形,分别以AB, BC,CD,DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影 部分的面积。
解:图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的,这
四个半圆的直径围成一个正方形。显然,这四个半圆的面积 之和大于正方形的面积,两者的差就是阴影部分的面积。因 此,我们就得到以下的算式:
说明:此例除了用上面的解法外,还可以采用列方程解应用题的方法来解。 如题图,设x和y分别表示相应部分的面积,由图看出
例10 如左下图所示,平行四边形的 长边是6cm,短边是3cm,高是2.6cm, 求图中阴影部分的面积。
分析:本题的图形比较复杂,我们可 以先计算阴影部分的一半(见右上图)。 我们的目标是把图形分解成若干基本图形
的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形,以及平行四边形。仔细观察
后得出结论:
右上图中的阴影部分等于
说明:求一个不规则图形的面积,要设法找出它与规则图形面积的关系,化
不规则为规则。
例11 求右图中阴影部分的面积(单位:cm)。 分析与解:本题可以采用一般方法,也就是分别计 算两块阴影部分面积,再加起来,但不如整体考虑好。 我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分(弓 形)翻折到半圆的右上角(以下图中虚线为折痕),把 两块阴影部分合在一起,组成一个梯形(如右图所示), 这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°,到达右上角,得到同样的一个梯形。
说明:当某些图形的面积不易直接计算时,可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。也就是说,可以化零为整。上述解法运用翻折(或旋转)的方法达到了化零为整的目的。
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2,求图中里外两个 圆的面积。
分析:计算圆面积,要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等,但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2,可以推出内圆直径的平方为12cm2, 再求内圆面积就不难了。
外圆的直径是正方形的对角线,设外圆半径为R,则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积2R×R÷2×22R2,2R212,便可求出外圆面积。
解:设内圆半径为r,由正方形面积为12cm2,正方形边长为2r,得(2r)212,r23。
内圆面积为πr23.14×39.42(cm2)。 正方形面积2个等腰直角三角形面积, 得R26,外圆面积为πR23.14×618.84(cm2)。 练习6
1.如右图所示,正方形的面积是50cm2,三角形ABC两条直 角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形ABC的面积。 2.如右下图所示,长方形ABCD中,AB24cm,BC36cm,E 是BC的中点,F,G分别是AB,CD的4等分点,H为AD上任意 一点。求阴影部分面积。
3.在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆孤。 问:阴影面积占纸板面积的几分之几? 4.在右下图中,六边形ABCDEF的面积是 54,AP2PF,CQ2BQ,求阴影四边形CEPQ的 面积。
5.在右图中,涂阴影部分的小正六角星形 面积是16cm2。问:大正六角星形面积是多少平 方厘米?
6.一个周长是56cm的大长方形,按右面 图1与图2所示那样,划分为4个小长方形。在