高等数学中国人民大学答案
出版社高数(第四版)习题1-3答案 观察一般项
xn如下的数列?xn?的变化趋势，写出它们的极限：
； （2）xn n
（1）xn（5）xn ? 13n ???1? n 1n
； （3）xn ?2? 1n3
； （4）xn ? n?2 ； n?2 ???1?n
知识点：数列定义。
思路：写出前几项，观察规律。 解：（ 1
31,9127,1 ???0； 81
1111,?,,?,??0； 2345 1111
,2?,2?,???2； （3）2?1,2?,2? 8276412544441
?1?,1?,1?,?1?,??1（4）xn?1? n?2345100
（2）?1,（5）?1, ；
2?3,4,??? 。
★★2．利用数列极限定义证明： （1） lim 11?3n3n?2
1）, k?0lim?limsinn?0。 （为正常数）； （2）； （3）2n??nkn??4n?1n??4n?2 知识点：极限定义。
思路：按定义即可。 证明：（1） lim 11
?0：对任意给定的正数，要使＊?0???kn??nkn ，即? ?1?
??n，只要取 ??? 1 ?0
n??nk 1k 1
??k11??
n?????，则对任意给定的??0，当n?n时，就有k?0?? ?????n?? ，即lim 1
??k1??
（注，只要保证n的取值能够让n以后的所有项的值满足＊式即可，因此n可取大于或等于???? ???????
的整数）； （2）lim 1?3n33n?137
?：对任意给定的正数?，要使＊????，只要 n??4n?144n?144(4n?1) ，∴取n n?
7?4?16?
3n?13?7?4??
，则对任意给定的??0，当n?n时，就有??????4n?14?16?? ， ∴lim 1?3n3 ?
n??4n?14 n?2
sinn?0 （3） lim2 n??n?2
证明：由于 n?2n?21
sinn?0??n2?2n2?2n?2 ，
因此对任意给定的正数?，要使 （计算时为方便不妨设n取n n?2
sinn?0??2 n?2 ，只要 11
??，即n??2 ?n?2
?2，因为前面的有限项对极限无影响） ，
n?2?1?
???2?，则对任意给定的??0，当n?n时，就有2sinn?0???n?2??n?2 sinn?0 n??n2?2 ∴ lim
★ 3．设数列
1n?cos。问limxn??求出n n??n2
限之差的绝对值小于正数?。当??0?001时，求出n。 ?xn?的一般项xn ?，使得当n?n 时，xn与其极
知识点：数列极限定义 思路：按极限定义即可 解： 观察可得： lim
1n?cos?0，证明该结果如下： n??n2
，因此对任意给定的正数?，要使 由于 1n?1