2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—湖南卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

一. 选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的

z?i?i(i为虚数单位)的复数z? z11111111A.?i B.?i C.??i D.??i22222222

2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样.系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是p1,p2,p3,则

1. 满足

A.p1?p2?p3 B.p2?p3?p1 C.p1?p3?p2 D.p1?p2?p3 3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)?g(x)?x3?x2?1,

则f(1)?g(1)=

A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.(x?2y)的展开式中x2y3的系数是 A.-20 B.-5 C.5 D.20

5.已知命题p:若x?y,则?x??y;命题q:若x?y,则x?y.在命题

①p?q②p?q③p?(?q)④(?p)?q中,真命题是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的t?[?2,2],则输出的S属于 A.[?6,?2] B.[?5,?1] C.[?4,5] D.[?3,6]

开始 22125输入t 是 t?0 否 S?t?3 t?2t2?1 输出S 7.一块石材表示的几何何的三视图如图2所示,将该石材切削.打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于

结束

A.1 B.2 C.3 D.4

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A.

p?q(p?1)(q?1)?1 B. C.pq D.(p?1)(q?1)?1 229.已知函数f(x)?sin(x??),且A.x??2?30f(x)dx?0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是

5?7??? B.x? C.x? D.x? 61236

12x210.已知函数f(x)?x?e?(x?0)与g(x)?x?ln(x?a)的图象上存在关于y轴对称的点,则

2a的取值范围是

111) B.(??,e) C.(?,e) D.(?e,) A.(??,eee二.填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.

(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

?x?2?cos??l11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线C:?交于A,B两点,,(?为参数)4?y?1?sin?|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程则

是 .

12.如图3,已知AB,BC是于 。

O的两条弦,AO?BC则O的半径等,AB?3,BC?22,

13.若关于x的不等式|ax?2|?3的解集为{x|?(二)必做题(14-16题)

51?x?},则a? 33

?y?x?14.若变量x,y满足约束条件?x?y?4,且z?2x?y的最小值为-6,则k?

?y?k?15.如图4,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a?b),原点O为AD的中点,抛物线y2?2px(p?0)经过C,F两点,则b? a 16.在平面直角坐标系中,O为原点,A(?1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足的最大值是 |CD|?1,则|OA?OB?OD|三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲.乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

23和.现35安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲.乙两组的研发相互独立.

(I) 求至少有一种新产品研发成功的概率;

(II) 若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获

利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

18. (本小题满分12分)

如图5,在平面四边形ABCD中,AD=,1CD=2,AC=7. (I) 求cos?CAD的值; (II) 若cos?BAD??721,sin?CBA?,求BC的长. 146 19. (本小题满分12分)如图6,四棱柱ABCD?A1BC11D1的所有棱长都相等,

BD?O,ACB1D1?O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. 11(I) 证明:O1O?底面ABCD;

(II) 若?CBA?60,求二面角C1?OB1?D的余弦值.

AC

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