考点： 因式分解的应用． 专题： 计算题． 22222222222分析： 先利用因式分解得到原式=（4x﹣y）（x﹣y+3x）=（4x﹣y），再把当y=kx代入得到原式=（4x﹣kx）=（4﹣k）x，所以当4﹣k=1满足条件，然后解关于k的方程即可． 解答： 解：能． 2222222（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y） 22222=（4x﹣y）（x﹣y+3x） 222=（4x﹣y）， 2222224当y=kx，原式=（4x﹣kx）=（4﹣k）x， 22令（4﹣k）=1，解得k=±或±， 4即当k=±或±时，原代数式可化简为x． 点评： 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 20．（10分）（2014?杭州）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．
（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．
考点： 作图—应用与设计作图． 分析： （1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可； （2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆． 解答： 解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5； 即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形，如图所示： （2）如图所示： 当三边的单位长度分别为3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为2.5； 2242当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为∴当三条线段分别为3，4，5时其外接圆周长为：2π×2.5=5π； 当三条线段分别为4，4，4时其外接圆周长为：2π×=π． ， 点评： 此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角形是解题关键．
21．（10分）（2014?杭州）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标． （1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；
（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．
考点： 圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题；作图题． 分析： （1）对圆P与直线l和l2都相切、圆P与直线l和l1都相切、圆P与直线l1和l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标． （2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等．只需求出其中的一条边就可以求出它的周长． 解答： 解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切， 当点P在第四象限时， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示． 设y=x的图象与x轴的夹角为α． 当x=1时，y=． ∴tanα=． ∴α=60°． ∴由切线长定理得：∠POH=（180°﹣60°）=60°． ∵PH=1， ∴tan∠POH=∴OH=． ，﹣1）． ==． ∴点P的坐标为（同理可得： 当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）； 当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）； ②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示． 同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，1）； ，﹣1）； ，1）； 当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）． ③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．
同理可得： 当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）； ，0）； 当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）； 当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）． 综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有： （（（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，0）、（﹣，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、 ，﹣1）、（，﹣1）、 ，0）、（0，2）、（0，﹣2）． （2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示． 由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形， 由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等． ∴该图形的周长=12×（﹣）=8．
点评： 本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题． 22．（12分）（2014?杭州）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x． （1）用含x的代数式分别表示S1，S2； （2）若S1=S2，求x的值．
考点： 四边形综合题；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称图形；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；动点型；分类讨论．
分析： （1）根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情况讨论． （2）由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4．然后在两种情况下分别建立关于x的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值． 解答： 解：（1）①当点P在BO上时，如图1所示． ∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=4， ∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2且S菱形ABCD=BD?AC=8∴tan∠ABO==． ． ， ∴∠ABO=60°． 在Rt△BFP中， ∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x， ∴sin∠FBP=∴FP=x． ==sin60°=． ∴BF=． ∵四边形PFBG关于BD对称， 四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称， ∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ． ∴S1=4S△BFP =4××=∴S2=8x? ． ﹣． ②当点P在OD上时，如图2所示． ∵AB=4，BF=， ∴AF=AB﹣BF=4﹣． 在Rt△AFM中， ∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣． ∴tan∠FAM=∴FM==tan30°=． （4﹣）． ∴S△AFM=AF?FM =（4﹣）?=
2（4﹣） （4﹣）．