2009年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试
1、2049年是中华人民共和国建国100周年。若两个四位数的和是2049，则称这两个四位数是一对“和谐数”（不计顺序）。则和谐数共有 25 对。
解：最小1000 对 1049最大，不计顺序则25对。
2、有一列火车于中午十二点由甲地开往乙地，另一列火车于40分钟后由乙地开往甲地。两列火车速度相同，行驶两地之间各需要3.5小时，则二者在下午 2 点 05 分相遇。
解：设速度V，则全程S=3.5V。先开40分钟，即2/3小时，余下3.5-2/3=17/6小时的路程。
二者速度一样，相遇时间为单独走余下路程用时的一半，即17/12小时=1又25/60小时=1小时25分钟。
3、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数分为三组，使第一组数的连乘积和第三组数的连乘积相等，且第二组数的个数和是15，则这三组数分别是 3、4、6 、 1、2、5、7 、 8、9 。
解：1×2×3×4×5×6×7×8×9=1×27×34×5×7∴易知第二组1、2、5、7；
则余下质因式为26×34，则连乘积为23×32=72，则第一、三组为8、9和3、4、6
4、将1、2、?、2009倒序排列，且依次每4个一组，第一组个数间添上+号，第二组添上-号，第三组+，第四组-，?，求这个算式的结果： 4017
解：分组计算 前组减后组=16，共[2009/4] =502组，则502/2 × 16，最后加上多出来的1，得4017
5、一个四位数数字颠倒后，值增加了2088，这样的四位数共有： 63 个。
解：abcd – dbca = 2088 => 999(a-d)+90(b-c) = 2088
90(b-c)个位为0，则a-d=2 ，999(a-d)=2000-2=1998 => b-c=1 a- d=2,且a、d非零，7种情况；b-c=1，9种情况；则63种
6、三角形ABC中AB=AD=CD，图中各角咀为正整数度。
则∠BAC最大可能为： 177° 。 解：∠BAC分两个部分，
右边=∠C，左边=180°-2∠B 合计:180°-2∠B+∠C 而2∠C=∠B (补角)，即∠BAC=180-3∠C则最大∠C=1°时，177°
7、5个不同的数，任取两个求和，可得10个和数。其中最小三个和数为34、38、39，最大两个和数为50、53，求5个数中最大的数： 28.5
解：设a＞b＞c＞d＞e，最大a+b=53、a+c=50、最小d+e=34，c+e=38，
现分析和数为39的情况c+d还是b+e？，分开讨论：
①若c+d=39，由 c+e=38，得知d-e=1；再有d+e=34，和差问题可得d=17.5、e=16.5。
则c=38-16.5=21.5，a=50-21.5=28.5
②若b+e=39，由c+e=38，得知b-c=1；而由a+b=53、a+c=50，得知b-c=2，矛盾
8、用Un表示数字n的数码和，则U1+U2+?+U2009= 28065
解：分组求和（U1+ U1998）+（U2+ U1997）+?+（U999+ U1000）+ （U2000+ U2001+ ?+ U2009）
=28×999 + 2×10+（1+2+?+9）
9、足球赛后，球员进球数统计部分如下： 进球数 人数 1 3 2 5 3 4 ? ? 8 3 9 4 10 1 已知，至少进3球的人的平均进球是6个；进球不到8个的人的平均进球是3个，则该联赛共有 27 人进球 解：设中间遗失部分进球数共为X个，人数合计Y人。则（3×12+X+8×3+9×4+10×1）/(4+Y+3+4+1)=6; （1×3+2×5+3×4+X）/(3+5+4+Y)=3，解方程组Y=7，则共3+5+4+7+3+4+1=27
10、如图面积为168的大矩形，被分为16个小矩形，部分小矩形面积已经标注，则阴影部分面积为： 15
解：比例法 2+4+8+10=24 4+8+16+20=48 5+10+20+25=60
以上合计132，余168-132=36，按比例，阴影行为3 6 12 15
11、质数对p、q满足p+15能被q整除、q+21能被p整除，则这样的质数对共有 4 对。
设p+15=mq；q+21=np => (n-1)p+(m-1)q=36, 36以内质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 P => 31 29 23 19 17 13
(n-1)p=> 31 29 23 19 34 17 类似 重复 n=> n=2 能整除q+21，则q≠2 (m-1)q=> 5 7 13 17 n=3 能整除q+21，则q是3倍数，矛盾 m 2能整除p+15，则p≠2 q 5 7 13 17 Ok 12、一位魔术师想在五个房间各留下数量相等的兔子（至少1只），在抵达第一个房间之前他要渡过一条神河一次，同
样的从一个间到另一个房间之前也要渡过一条神河一次。每当他渡过神河时，他手中的兔子数量都会增加一倍，当魔术师离开第五个房间时手中已经无兔子。问:原来他至少有几只兔子
解1：倒推，设每间房的兔子数为x,由于从一间房到下一间房过河时手上兔子数会加倍；
所以魔术师过河后，放第四间房之前，手上兔子数为x+x/2=3x/2； 过河后，放第三间房之前手上兔子数为x+(3x/2)/2=7x/4； 由此类推，过河后放第一间房前手上兔子数为31x/16,；
又因为放第一间前要过河，所以魔术师原来有兔子31x/32只，
因为x为正整数，兔子数也是正整数，当x=32时，魔术师手上兔子最少，为31只。
解2：设原有X只兔子,每间房放Y只兔子
到达第一间房时因过河有2X只兔子,过了第一间房还有2X-Y只兔子.到第二间房时有2(2X-Y)只兔子,过第二间房还有2(2X-Y)-Y只,依次到第五间房时有32X-30Y只兔子.(这些兔子都放第五间房)有 Y=32X-30Y,即32X=31Y,X和Y都是正整数,得最小X为31最小Y为32