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26.5特征值与特征向量矩阵的简单应用
【知识网络】
1、矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；
2、会求二阶方阵的特征值与特征向量<只要求特征值是两个不同实数的情形）；
3、了解三阶或高阶矩阵； 4、矩阵的应用。 【典型例题】
例1：<1）、已知
，且
，则n的值是< ）
A．3 B．－3 C．±3 D．不存在
答案：C。解读： <2
( >b5E2RGbCAP A、
B、
C、
D、。
）
，解得n=±3。
=
答案：C。解读：
<3）设某校午餐有A、B两种便当选择，经统计数据显示，今天订A便当的人，隔天再订A便当的机率是；订B便当的人，隔天再订B便当的机率为，已知星期一有40%的同学订了A便当，60%
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的同学订了B便当，则星期四时订A便当同学的比率为 <）p1EanqFDPw A、
B、
C、
，则M3
D、
。
答案：D。解读：设M=
<4）矩阵的特征值是。
答案：-4或2。解读：矩阵M的特征值满足方程
=(-1> (+3>-(->(-2>=2+2-8=0
解得，矩阵M的两个特征值1=-4，2=2。 <5）一实验室培养两种菌，令时间点n的数量，彼此有如下的关系二阶矩阵A=，答，案
满足
A
，<其中n=0,1,2…），则
和
分别代表两种培养菌在
，若，
。DXDiTa9E3d ：
8
，
24
，
0
，，
8
。
解
读
：
故得。
例2：根据下列条件试判断M 是否与 共线 ⑴M=
，非零向量 =
=
⑵ M==3
， =
答案：⑴ M=
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 所以M与共线。 ⑵ M=共线。
例3：求矩阵M=
的特征值和特征向量
=
而
与
不共线。 即此时M与不
答案：矩阵M的特征值满足方程
=(+1> (-3>-(->(-2>=2-2-8=0
解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2 ⑴设属于特征值1=4的特征向量为
，则它满足方程：
(1+1>x+(-2>y=0 即：<4+1）x+(-2>y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取
为属于特征值1=4的一个特征向量
，则它满足方程：
⑵设属于特征值1=-2的特征向量为(2+1>x+(-2>y=0
即：<-2+1）x+(-2>y=0 也就是 x+2y=0 则可取
为属于特征值2=-2的一个特征向量
有两个特征值1=4，2=-2，
，属于2=-2的一个特征向量
综上所述：M=
属于1=4的一个特征向量为为
。
例4：已知：矩阵M=，向量 = 求M3