微分几何主要习题解答
?3??????(s)?s?1??(s)?s2?1[???(s)??rr]?s＝r(s0??s)－r(s0)＝r00023!?????????1132?3?0?s??0?0?s＋(?k0?0?k0?0??0?0?0??)?s，设???1?0??2?0??3?0，
26???其中lim??0 。则r(s0??s)－r(s0)
解
?s?0??111123?23＝[?s?(??0??1)?s]?0?[?0?s?(?0??2)?s]?0?[(?0?0??3)?s3]?0
6266??上式中的三个系数的绝对值分别是点r(s0??s)到r(s0)的法平面、从切平面、密切平面的距离。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
?证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量?是常向量.
???即??=0。曲线的挠率的绝对值等于|??|为零，所以曲线为平面曲线。
????证法二：设n是固定直线一向量，则r'·n=0 ，积分得r·n=p ,说明曲线在以
?n为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
???????r'rnn证法三：设是固定直线一向量，则·=0 ，再微分得''·n=0 ，r'''·n=0 。??????所以r' 、r'' 、r'''三向量共面，于是（r'r''r'''）= 0 ，由挠率的计算公式知?=0，
因此曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
????证 设一曲线为Γ：r＝r(s)，则另一曲线?的表达式为：??r(s)??(s)?(s) ，
?(s)为曲线Γ在点s的主法向量，也应为?在对应点的副法线的方向向量。 ??????????＝０，?为常数。?????'＝＋?－??与?正交，即?'·?＝０，于是?'＝?－
??11
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??????，?''＝k?－?而?????????－??（－k?＋??）也与?正交，即?''·?＝-??2=0,
??０,所以有?＝０，曲线Γ
为平面曲线。同理曲线?为平面曲线。
??8. 如果曲线Γ：r＝r(s)为一般螺线, ?、?为Γ的切向量和主法向量，R为
??Γ的曲率半径。证明?：?=R?－??ds也是一般螺线。
??证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e使?与e成固定角,对于曲线
??????????,其切向量?'=R??R?????R与?共线,因此也与非零常向量e成固定角, 所
以?也为一般螺线。
....?????????9．证明曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r)?0
?????....????2?32???????????????)? 证 r???，r???????????,r??3????(???????)??(2?....????????3335??5????????????()，其中k?0. (r,r,r)??(2k????)?3?????(?????)??＝2?????曲线r＝r(s)为一般螺线的充要条件为 为常数,即()?=0,也就是
??.?...???????(r,r,r)?0 。
....????????????,???,?????)?0。曲线r＝r(s)为一般螺线，则存在常向方法二： (r,r,r)?0，即(??????????????e???e?????e?,???,?????共面，?,???,?????）量e，使?·e=常数，所以?从而（??0,??0,??0,所以?????????????e?=0。反之，若（?,?,?）=0，则平行于固定平面，设固定平面的法矢为，则有
??e?0，从而?·e= p (常数)，所以r＝r(s)为一般螺线。 ??方法三：曲线r＝r(s)为一般螺线?存在常向量e使??e，即??e?0??????平行于固定平面（以e为法向量的平面）?r平行于一固定平面?(r,r,r)?0 。
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?方法四：\?\设r＝r(s)为一般螺线，存在常向量e使??e=常数，即r?e?常
....????????数，连续三次求微商得r?e?0,r?e?0，r?e?0 ，所以(r,r,r)?0。
....????????\?\因为(r,r,r)?0，所以r平行于固定平面，设固定平面的法矢为n（常向
量），则r?n，而?r,???n，所以曲线为一般螺线。
10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
?证 设曲线Γ与?在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝r(s) ，则?：
????r(s)??(s)?(s)，?????０，其切向量为?'＝?＋??＋?k?应与?平行，所以
?k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线?为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为
非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。
11．设在两条曲线Γ、?的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则?也为一般螺线。
???证 设曲线Γ：r=r(s)与?：r?r(s)点建立了一一对应，使它们对应点的切?????ds???线平行，则适当选择参数可使?(s)=?(s), 两端对s求微商得?, 即
ds?????dsds??0，所以有?=?，即主法线平行，从而?(s)=?(s)，k?(s)?k?(s) ，这里dsds?ds?ds?, 或?即两曲线的副法线也平行。且???。?(s)=?(s)两边对s求微商得
?dsds??dsds?ds???????(s)????(s)，于是 ???,或?，所以，? 或?。
?ds????dsds
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