题型一 向量与平面几何
例1 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上
→→
的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________．
探究1 平面几何问题的向量解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题1 已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则→→→
CP·(BA－BC)的最大值为________．
题型二 向量与三角函数
→→→
例2 已知O为坐标原点，向量OA＝(sinα，1)，OB＝(cosα，0)，OC＝(－sinα，
→→
2)，点P满足AB＝BP.
→→ππ
(1) 记函数f(α)＝PB·CA，α∈(－，)，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；
82→→
(2)若O，P，C三点共线，求|OA＋OB|的值．
π
思考题2 设a＝(1，cosα)，b＝(sinα＋cosα，－2)，若α∈(0，)，a·b2
1＝. 5
(1)试求sin2α及sinα，cosα的值；
(2)设f(x)＝5cos(2x－α)＋cos2x(x∈R)，试求f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
题型三 向量与解三角形
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，
πBn＝(2sin2(＋)，－1)，m⊥n. (1)求角B的大小； (2)若a＝3，b＝1，求c
4
2
的值．
3
思考题3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C＝2A，cosA＝. 4
(1)求cosC，cosB的值；
→→27
(2)若BA·BC＝，求边AC的长．
2
题型四 向量与解析几何
例4 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
43
→→
一点，则OP·FP的最大值为( ) A．2 B．3 C．6 D．8
思考题4 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交
→→
点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，→→
BA·BC＝48，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝16x D．y2＝42x 三角形各心的向量表示
→→→
(1)O是△ABC的重心?OA＋OB＋OC＝0；
→→→→→→
(2)O是△ABC的垂心?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→→→→2→2→2
(3)O是△ABC的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA＝OB＝OC)；
→→→→→→→→→ABACBABCCACB(4)O是△ABC的内心?OA·(→－→)＝OB·(→－→)＝OC·(→－→)|AB||AC||BA||BC||CA||CB|
＝0.
→→注意 向量λ(→＋→)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所|AB||AC|
x2y2
ABAC在直线)
1．将平面向量与三角形内心结合考查
例1 O是平面上一定点，A， B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA→→＋λ(→＋→)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) |AB||AC|
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．将平面向量与三角形垂心结合考查
→→→→→→
例2 点P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．将平面向量与三角形重心结合考查
→1→→
例3 点P是△ABC所在平面内任一点．G是△ABC的重心?PG＝(PA＋PB＋
3
→PC)．
4．将平面向量与三角形外心结合考查
→→→
例4 若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的( ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
5．将平面向量与三角形四心结合考查
→→→→→→→→→
例5 已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．
课后作业
→→→
1．O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(OP－OA)·(AB－→
AC)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
→
→
ABAC