椭圆性质总结及习题

椭 圆

重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程; 难点:用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义:

①平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(2a?F1F2时为线段F1F2,2a?F1F2无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集

??d2 标准方程:

M={P|

PF?e,0<e<1的常数

(e?1为抛物线;e?1为双曲线) ?。

x2y2(1)焦点在x轴上,中心在原点:2?2?1(a>b>0);

ab焦点F1(-c,0), F2(c,0)。其中c?a2?b2(一个Rt?)

y2x2(2)焦点在y轴上,中心在原点:2?2?1(a>b>0);

ab焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中c?a2?b2 注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B),当A<

B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上。

x2y23.参数方程 :椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程

ab ?s?x?aco? (?为参数) ??y?bsin224.性质:对于焦点在x轴上,中心在原点:x?y?1(a>b>0)有以下性质:

a2b2坐标系下的性质:

① 范围:|x|≤a,|y|≤b;

② 对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③ 顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b;

(a半长轴长,b半短轴长);

a2④ 准线方程:x??ca2;或y??

c⑤ 焦半径公式:P(x0,y0)为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0,|PF2|=r右=a-ex0;

|PF1|=r下=a+ey0,|PF2|=r上=a-ey0;PF?a?c,PFmin?a?c max平面几何性质: ⑥ 离心率:e=

c(焦距与长轴长之比)??0,1?;e越大越______,e?0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p?;准线间距?

cc二、焦点三角形

x2y2结论一:若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点,P是椭圆上一点,且

ab?F1PF2??,当点P位于___________时?最大,cos?=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. S?F1PF2?btan2?2

结论二:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为__________。

三.中点弦问题

x2y2AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0),则直线的斜率

ab为 。

四.弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算;

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用 ,往往比利用弦长公式简单。 五.X轴正半轴到椭圆的最短距离问题:

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0),则点(m ,O)到椭圆的最短距离为:_________________.

ab六.过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2?2?1??1222P(x,y)Pbb若000在椭圆a上,则过0的椭圆的切线方程是a.

习 题

1、 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(?1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则该椭圆的方程为__________________。

x2y2??1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则ON的长是3、 椭圆

259___________________。

4、 如果方程kx2?y2?2表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

______________。

x2y25、 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,

ab?若?F1PF2?60,则椭圆的离心率为__________。

x2y26、 设F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点,以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭

ab圆的一个焦点为M,若直线F2M与圆F1相切,则该椭圆的离心率为____________________。

x2y2??125167、点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径

为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为_______________.

x2y2C:2?2?1FFab8、(2009年上海卷理)已知1、2是椭圆(a>b>0)的两个焦点,P1F2的面积为9,则b=____________. 1?PF2.若?PF为椭圆C上一点,且PFx2y2??1F,F|PF1|?4,则29、(2009北京文)椭圆9的焦点为12,点P在椭圆上,若

|PF2|? ;?F1PF2的大小为 .

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一10、已知椭圆

169个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为_________。

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