第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：
解：矢量性为
①
②
③微商性
④
⑤
由②得
⑥
⑦
⑥+⑦得
上式得
令得
2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明：
解：①
②
③
3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。 ⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商
（）
与对场变数求微商
（ ）
的关系
（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） ⑵ 求及，其中及均为常矢量。 解：⑴ ⑵
4. 4.
⑴ 应用高斯定理证明
⑵ 应用斯托克斯（Stokes）定理证明
解：⑴
⑵
5. 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
利用电荷守恒定律
证明的变化率为
解：
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则
。
6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
解：
7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求
⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。
解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由：
对空间Ⅱ：做高斯面，由
对空间Ⅲ: 做高斯面，由
⑵ 由
时,由边值条件:
(由1指向2)
8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。
解：⑴由 所以
所以
方向为
对区域Ⅱ 由
方向为
对区域Ⅲ有:
(2) (2) 由
由
由
同理
由
得
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即： 解：由均匀介质有
①
② ③ ④ 由①②得
两边求散度
由③④得