2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)若lim[?(?a)e]?1，则a等于
x?01x1xx（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３
(2) 设y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y??p?x?y?q?x?的两个特解. 若常数?, ?使?y1??y2是该方程的解, ?y1??y2是对应的齐次方程的解, 则 （A）??11112122,?? (B)???,??? (C) ??,?? (D) ??,?? 22223333（3）设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g??(x)?0。若g(x0)?a是g(x)的极值，则fg?x?在x0取极大值的一个充分条件是
(A) f??a??0 (B)f??a??0 (C) f??a??0 (D) f??a??0 （4）设f?x??lnx,10??g?x??x,h?x??e，则当x充分大时有
x10(A) g?x??h?x??f?x? . (B) h?x??g?x??f?x?. (C)f?x??g?x??h?x?. (D) g?x??f?x??h?x?.
(5) 设向量组 I:?1, ?2,???, ?r可由向量组II: ?1, ?2,???, ?s线性表示, 则列命题正确的是 (A) 若向量组I线性无关, 则r?s (B) 若向量组I线性相关, 则r?s (C) 若向量组II线性无关, 则r?s (D) 若向量组II线性相关, 则r?s (6)设A为4阶对称矩阵,且A?A?0若A的秩为3,则A相似于
2?1??1?? (A)??1???0??
?1??1?? (B)???1???0????1????1? (D) ???1???0??
?1???1?? (C) ???1???0??
?0,x?0?1?(7) 设随机变量X的分布函数F(x)??,0?x?1，则P?X?1??
2??x??1?e,x?1(A) 0
(B) 1 (C)
1?1?e 21
(D) 1?e
?1 (8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,
?af1(x),x?0f(x)??(a?0,b?0)为概率密度,则a,b应满足
bf(x),x?0?2(A)2a?3b?4 (B) 3a?2b?4 (C) a?b?1 (D) a?b?2
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数y?y?x?由方程（10）设位于曲线y??x?y0e?tdt??xsint2dt确定，则
02xdydxx?0?______
1x(1?lnx)2(e?x???)下方, x轴上方的无界区域为G, 则G绕x轴旋转一周所得
空间区域的体积为_________。
（11）设某商品的收益函数为R?p?，收益弹性为1?p3, 其中p为价格, 且R?1??1, 则R?p??_______ （12）若曲线y?x3?a x2?bx?1有拐点??1, 0?, 则b? ________ 。
(13) 设A,B为3阶矩阵, 且A?3, B?2, |A?B|?2,则|A?B?1|? _______ .
?11n2（14）设X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?)(??0)的简单随机样本。记统计量T??Xi，则
ni?12E(T)?_______。
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
（15）(本题满分10分)
求极限lim(x?1)x???1x1lnx
（16）(本题满分10分) 计算二重积分
23Dx?1?y,其中由曲线与直线x?2y?0及x?2y?0围成. (x?y)dxdy??D（17）(本题满分10分)
222求函数u?xy?2yz在约束条件x?y?z?10下的最大值和最小值 .
(18) (本题满分10分)
(1)比较
?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由。
0n1(2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt,(n?1,2,?)求极限limun。
n??（19）(本题满分10分)
设函数f?x?在闭区间?0, 3?上连续, 在开区间?0, 3?内存在二阶导数, 且 2f(0)?
?20f(x)dx?f(2)?f(3)
2
(I) 证明存在? ??0, 2?, 使得f(?)?f?0?； (II) 证明存在? ??0, 3?, 使得f??(?)?0。 (20) (本题满分11分)
11????a?????设A?0??10，b?1已知线性方程组AX?b存在两个不同的解. ??????1???1??1??(1) 求?,a；
(2) 求方程组AX?b的通解.
(21) (本题满分11分)
?0?14?1??T(1,2,1)设A??13a,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第一列为,求a,Q.
??6??4a0?? (22)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x及条件概率密度fY|X?y|x?。
(23) (本题满分11分)
箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出2个球, 记X为取出红球的个Y 为取出白球的个数 . 数, (I) 求随机变量?X,Y?的概率分布； (II) 求Cov?X,Y?.
2?2xy?y2，???x???，???y???求常数A以
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出a.
111?ex?axex1?exx?lim(?aex) 【详解】由于lim[?(?a)e]?limx?0xx?0x?0xxx1?ex?limaex?a?1 ?limx?0x?0x从而由题设可得a?1?1，即a?2，故应选（C）
(2) 【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构
【详解】因为y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y??p?x?y?q?x?的两个特解，所以
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