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安徽大学2008—2009学年第一学期
《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）
（闭卷 时间120分钟）
题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分
阅卷人
一、单项选择题（每小题2分，共10分） 得分
1、下列陈述正确的是（ ）。 (A) 若方程组Am?nx?0有唯一解，则方程组Am?nx?b有唯一解 (B) 若方程组Am?nx?b有唯一解，则方程组Am?nx?0有唯一解 (C) 若方程组Am?nx?0有无穷多解，则方程组Am?nx?b有无穷多解 (D) 若方程组Am?nx?b无解，则方程组Am?nx?0无解
2、已知n维向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关，则下列选项中必正确的是( )。 (A) 对于任何一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 (B) ?1,?2,?,?s中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 (D) 对于每一个?i都可以由其余向量线性表出
3、设0?P(A)?1,0?P(B)?1，且P(A|B)?P(A|B)?1，则 ( )。 (A) 事件A与事件B互不相容 (B) 事件A与事件B对立 (C) 事件A与事件B不独立 (D) 事件A与事件B独立
4、设X~E(?)（指数分布），X1,X2,?,Xn是总体X的样本，则参数?的矩估计是( )(A) max1?i?n{Xi} (B) 2X (C) X (D) 1/X
5、设X1,X2,?,X2n是来自正态总体N(?,?)的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 1nn?2?(Xi??)2~?2(n) (B) 1?(Xi?X)2~?2(n?1)
i?1ni?1(C) 1nn2?(X2i?X)2~?(n) (D) 1?i?X)2~?2(n?1)
i?1n?1?(Xi?1
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。
二、填空题（每小题2分，共10分） 得分
?kx1?x2?x3?0?6、若齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0 有非零解，则k＝ 。
?2x?x?x?03?12?001???7、矩阵A??110?的逆矩阵为 。
?210???8、若3阶方阵A的特征值分别为?1、0、1，则行列式A3?2A2?2E= 。
9、已知X~P(?)（泊松分布），??0，且P(X?1)?2P(X?2)，则D(?3X?5)? 。
10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为： 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3 设零件直径服从正态分布N(?,?2)，其中?未知，??0.21（毫米），?(1.96)?0.975，则这批零件平均直径?的对应于置信度为0.95的置信区间为 。
三、计算题（本大题共4小题，共46分） 得分
11、(本小题10分) 计算下列行列式 x1a2a3?ana1Dn?a1a1x2a2a2a3?anx3?ana3?xn(xi?ai,i?1,2,?,n) ?????《 高等数学A(三) 》 （A卷） 第 2 页 共 36 页
12、(本小题14分) 已知三阶矩阵
?400???A??042?
?024???求: (1) 矩阵A的特征值及特征向量（6分）；
(2) 正交矩阵Q，使得Q?1AQ为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；
(3) Ak(k为正整数)(4分)。
13、（本小题10分）已知二次型
222x12?ax2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
正定，求a的取值范围。
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14、(本小题12分) 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为
?Cx2y,x2?y?1f(x,y)??
,其它?0求：(1) 常数C(6分)；
(2) P(0?X?Y)(6分)。
四、证明题（本大题共2小题，共24分）
15、(本小题12分) 设A为n?n实矩阵，且满足A2?6A?7E?0。 （1）若A?E?0，证明A?7E不可逆（5分）； （2）证明A?E可逆，并求其逆（7分）。
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16、(本小题12分) 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密得分 为
?1?x3y?xy3,|x|?1,|y|?1?f(x,y)?? 4?0,其它? 证明：(1) X与Y不相关(6分)；
(2) X与Y不独立(6分)。
五、综合分析题（本大题共10分） 得分
17、 设总体X~N(?,?2)，其中?和?2为未知参数，(X1,X2,?,Xn)是 总体X的一个子样。 ?2(6分)； ?和?(1) 求参数?和?2的极大似然估计??2是否为?2的无偏估计量(4分)。 (2) 判断?
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度函数