2013年北约自主招生
数学试题
（时间90分钟，满分120分）
1．以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ A．2
B．3
2
C．5
3
D．6
解析：显然，多项式f（x）=（x-2）［（1-x）-2］的系数均为有理数，且有两根分别为2和
1?32，于是知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.
若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g（x）=ax+bx+cx+dx+e，其两根分别为2和4
3
2
1?32，其中a，b，c，d，e不全为0，则：
g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0
???7a?b?c?d?e?0[ ???2a?3b?2c?d?0?4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组：?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3)，有非0有理数解。 (4)(5)由（1）+（3）得：11a?b?c?d?0 （6） 由（6）+（2）得：11a?3b?c?0 （7） 由（6）+（4）得：13a?4b?3c?0 （8） 由（7）?（5）得：a?0 代入（7）、（8）得：b?c?0 代入（1）、（2）知：d?e?0
于是知a?b?c?d?e?0，与a,b,c,d,e不全为0矛盾。
所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)，其两根分别为2和1?32.
- 1 -
综上所述知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5．
2．在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A．720
B．20
C．518400
D．14400
3解析：先从6行中选取3行停放红色车，有C6种选择．最上面一行的红色车位置有6种选择；
最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置
3有3！=6种选择。所以共有C6?6?5?4?6?14400种停放汽车的方法．
3．已知x2?2y?5,y2?2x?5，求x?2xy?y的值． A．10
B．12
C．14
D．16
3223解析：根据条件知：
x3?2x2y2?y3?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)?15x?15y?4xy?50
由x2?2y?5,y2?2x?5两式相减得(x?y)(x?y)?2y?2x故y?x或x?y??2
2（1）若x?y，则x?2x?5，解得x?1?6．
于是知x?y?1?6或x?y?1?6． 当x?y?1?6时，
x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30x?50??4(x2?2x?5)?38x?70 ??38x?70??108?386．
当x?y?1?6时，
x3?2x2y2?y3??4xy?15(x?y)?50??4x2?30?50??4(x2?2x?5)?38x?70 x2?y2?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2??38x?70??108?386．
22（2）若x?y，则根据条件知：x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(y?x)?x?y??2，于
(x?y)2?(x2?y2)??1．是x?y?(2y?5)?(2x?5)?2(x?y)?10?6，进而知xy?
222
- 2 -
于是知：x3?2x2y2?y3?4xy?15(x?y)?50??16． 综上所述知，x3?2x2y2?y3的值为?108?386或?16． 4．数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn,Sn?1?4an?2，求a2013． A．
2012
B．
2013
C．
2012
D．无法确定
对an?1?2an?3?2n?1，两边同除以2则cn?1?cn?n?1a13，c1?1?224an?1an3an?1an3an????c?，即．令，nn?1nn?1nn222422413n?31?)，于是知cn??(n?1．所以
244，有
an?3n?1n,2?(3n?1)?2n?2．于是知： a2013?(3?2013?1)?22011?3019?22012．故选4项A正确。
5．如图，?ABC中，AD为BC边上中线，DM,DN分别?ADB,?ADC的角平分线，试比较BM?CN与MN的大小关系，并说明理由．
A．BM+CN>MN
B．
MN C． D．无法确定
解析：如图，延长ND到E，使得DE?DN，连接BE、ME．易知?BDE??CDN，所以CN?BE．又因为DM,DN分别为?ADB,?ADC的角平分线，所以?MDN?90?，知
MD为线段
EN的垂直平分线，所以
MN?M．所以
BM?C?NB?M?BE?．故选项A正确。
- 3 -