2.3.1 双曲线及其标准方程
自我小测
1．双曲线
x2
m2＋169－m2
－
y2
＝1的焦距是( ) C．10 D．与m有关
A．4 B．22
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
3．方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
1＋k1－kA．－1＜k＜1 B．k＞0
C．k≤0 D．k＞1或k＜－1
x2y2
4．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A.－＝1 916
x2y2
B.－＝1 916
y2x2
C.－＝1(x≤－3) 916
x2y2
D.－＝1(x≥3) 916
x2y2
x2y2x2y2
5．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m的值为( )
4mm2
A．1 B．1或3
C．1或3或－2 D．3
6．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题： 4－tt－2①若曲线C为椭圆，则2＜t＜4； ②若曲线C为双曲线，则t＞4或t＜2； ③曲线C不可能是圆；
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜4. 以上命题正确的是( ) A．②③ B．①④
2
2
x2y2
C．②④ D．①②④
7．已知圆C：x＋y－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为________________．
8．如果一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)＋y＝16相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
2
2
x2y2x2y2
9．椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s＞0，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而Pmnst是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝__________.
10．已知双曲线16x－9y＝144，F1，F2是左、右两焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2.
2
2
3
11．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过
4点P的双曲线方程．
12．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，
2736求双曲线的方程．
x2y2
参考答案
1．解析：由题意可知a＝m＋16，b＝9－m， 所以c＝a＋b＝m＋16＋9－m＝25， 所以c＝5，所以2c＝10. 答案：C
2．解析：由双曲线的定义可知：|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AB|.
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝26. 答案：D
3．解析：因为方程
－＝1表示双曲线， 1＋k1－k2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
所以有(1＋k)(1－k)＞0，解得－1＜k＜1. 答案：A
4．解析：双曲线的定义是动点到两定点的距离的差的绝对值，由于本题中没有绝对值，因此只能代表距离B(5,0)点近的一支．
答案：D
5．解析：由题意可知m＞0，于是焦点都在x轴上，故有4－m＝m＋2，解得m＝1. 答案：A
4－t>0，??
6．解析：①若C为椭圆，则?t－2>0，
??4－t≠t－2，解得2＜t＜4，且t≠3. ②若C为双曲线， 则(4－t)(t－2)＜0， 所以t＞4或t＜2.
③当t＝3时，方程为x＋y＝1表示圆． 4－t>0，??
④若C为焦点在y轴上的椭圆，则?t－2>0，
??t－2>4－t，解得3＜t＜4. 答案：C
7．解析：令x＝0，得y－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．令y＝0，得
22
2
x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，故a＝2，c＝4，
所以b＝c－a＝16－4＝12且焦点在x轴上，
2
2
2