【2019最新】高中数学第3章统计案例章末分层突破学案2
, [自我校对]
①散点图 ^^^②y＝bx＋a ③残差图 ④相关指数 ⑤等高条形图
线性回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．根据两个变量的一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．
利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：
1 / 9
n? xi－x^^(1)求b时，利用公式b＝
i＝1
nyi－y1
，先求出x＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，
n? xi－xi＝1
2
y＝(y1＋y2＋y3＋…＋yn)．再由a＝y－b x求a的值，并写出回归直线方程．
n－－
(2)回归直线一定经过样本的中心点(x，y)．
^^
(3)回归直线方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．
^^^^
(4)回归直线方程y＝a＋bx中的b表示x每增加1个单位时预报变量y的平均变化量，^
而a表示预报变量y不随x的变化而变化的部分．
(5)在一元线性回归模型中，相关指标R与相关系数r都能刻画线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R就越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好．
关于x与y有以下数据：
2
2
1
^^^
x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 ^已知x与y线性相关，由最小二乘法得b＝6.5， (1)求y与x的线性回归方程；
^2
(2)现有第二个线性模型：y＝7x＋17，且R＝0.82.
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． ^^
【规范解答】 (1)依题意设y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋a. －2＋4＋5＋6＋8x＝＝5，
5－30＋40＋60＋50＋70y＝＝50，
5^^－－∴y＝6.5x＋a经过(x，y)， ^^
∴50＝6.5×5＋a，∴a＝17.5，
^
∴y与x的线性回归方程为y＝6.5x＋17.5.
^－
(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－y的关系如下表：
2 / 9
yi－yi yi－y 5
^－0.5 －20 －3.5 －10 10 10 －6.5 0 0.5 20 －^222222
所以? (yi－yi)＝(－0.5)＋(－3.5)＋(－10)＋(－6.5)＋0.5＝155.
i＝1
5
? (yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
i＝1
－
^
? yi－yii＝1
5
2
所以R＝1－－
? yi－yi＝1
2
2
5
2
21
155＝1－＝0.845.
1 000
由于R1＝0.845，R＝0.82知R1>R， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好． [再练一题]
1．(2016·长春高二检测)已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 销售额x(千万元) 利润额y(千万元) (1)画出散点图； (2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程； (3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．
n22
A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5 ?xiyi－nx y^
(参考公式：b＝
i＝1
n2
i－nx?x2
－－
^－^－
，a＝y－bx. －
i＝1
55
2
其中，?xiyi＝112，?xi＝200)
i＝1
i＝1
【解】 (1)散点图．
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