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文科数列专题复习
一、等差数列与等比数列
1. 基本量的思想：
常设首项、（公差） 比为基本量， 借助于消元思想及解方程组思想等。 是解决问题的基本方法。 2. 等差数列与等比数列的联系
转化为 “基本量”
1）若数列 an 是等差数列， 则数列 { an } 是等比数列， 公比为 a ，其中 a 是常数， d 是 an
ad
的公差。（ a>0 且 a≠ 1）；
2）若数列 an 是等比数列， 且 an 其中 a 是常数且 a 0, a 3. 等差与等比数列的比较
0 ，则数列 log a an 是等差数列， 公差为 log a q ，
n 1
1 ， q 是 an 的公比。
3）若 { an } 既是等差数列又是等比数列
等差数列
, 则 { an } 是非零常数数列。
等比数列
定义
{ an }为A P
an 1
an
a
an ak q
d (常数）
{ an} 为G P
q(常数）
通 项 公 式 求 和
an = a1 +（ n-1）d= ak +（ n-k）d=dn+ a1 -d
an
a1q n 1
n k
公 式
sn
d
2
A=
n(a1 an )
n
2
n( n 1)
2
(a1
na1
d 2
2
d
na1
(q
1)
sn
)n
a1 (1 q )
1 q
n
a1 an q
(q
1)
1 q
中 项
a
b
G
2
ab 。
2
公式
2
m
推广： 2 an = an m 1
若 m+n=p+q 则
a
n m
推广： an
an m
an
性 质
am an
a p aq
若 m+n=p+q，则 am an
a p aq 。
2 若 { k n } 成 A.P（其中 k n N ）则 { akn } 也
若 { kn } 成等比数列 （其中 kn
N ），
为 A.P。
则 { akn } 成等比数列。
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3 ． sn , s2 n 4
sn , s3n s2 n 成等差数列。
a1
am
an
sn , s2n sn , s3 n
n 1
s2 n 成等比数列。 q n m
an am
d
an
(m n)
q
an
，
( m n)
n 1 m n
a1
4、典型例题分析
【题型 1】
等差数列与等比数列的联系
例 1 （文 16）已知 {a n} 是公差不为零的等差数列， a1＝1，且 a1， a3，a9 成等比数列 .
（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项 ; （Ⅱ）求数列 {2 an} 的前 n 项和 Sn. 解：（Ⅰ）由题设知公差
由 a ＝ 1，a ， a ， a
d≠0，
1
1 3
9
成等比数列得
解得 d＝1， d＝ 0（舍去），
故 {a } 的通项 a ＝ 1+（ n－ 1）× 1＝ n.
n
1 2d 1
＝
1 8d 1 2d
n
，
nm
2 =2，由等比数列前 n 项和公式得 ( Ⅱ ) 由（Ⅰ）知
a
2 3
Sm=2+2 +2 + +2 =
n
2(1 2 )
n
=2
n+1
-2.
1 2
小结与拓展：数列
an 是等差数列，则数列 { a } 是等比数列，公比为 a ，其中 a 是
2 3
an
d常数， d 是 an 的公差。（ a>0 且 a≠ 1） .
【题型 2】
例 2
与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合
n
已知数列 {a } 的前三项与数列 {b } 的前三项对应相同， 且 a ＋ 2a ＋ 2 a ＋ ＋ 2
－1 an＝ 8n 对任意的 n∈N* 都成立，数列 {b n＋ 1－ bn} 是等差数列．求数列 {a n} 与 {b n } 的通项 公式。
解： a ＋ 2a ＋2 a ＋ ＋
n
1 2 n
2
2 3 1
2
2 a ＝8n(n ∈N )
n－ 1
n－ 2 n－ 1
*
1
①
n
*
2 3
当 n≥2时， a ＋ 2a ＋2 a ＋ ＋ 2 a ＝ 8(n －1)(n ∈N ) ①－②得 2n－ 1an＝8，求得 an＝24－ n，
②
在①中令 n＝ 1，可得 a1＝ 8＝ 24－ 1，
∴an＝ 2
4－n
(n ∈N ) ． 由题意知 b1＝ 8， b2 ＝4， b3＝ 2，∴b2－ b1＝－ 4， b3－ b2＝－ 2，∴数
*
列 {b n＋ 1－ bn} 的公差为－ 2－ ( － 4) ＝ 2，∴bn＋ 1－ bn＝－ 4＋ (n －1) ×2＝ 2n－ 6，
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法一 （迭代法）
bn＝ b1＋ (b 2－b1 ) ＋ (b 3－ b2) ＋ ＋ (b n－ bn－ 1) ＝ 8＋ ( － 4) ＋ ( － 2) ＋ ＋ (2n － 8)
＝ n2－ 7n＋14(n ∈N* ) ． 法二 （累加法）
即 bn－bn －1＝ 2n－ 8，
bn－ 1－ bn－ 2＝2n－ 10，
b3－ b2＝－ 2，
b2－ b1＝－ 4，
b1＝ 8，
相加得 bn＝8＋ ( － 4) ＋ ( － 2) ＋ ＋ (2n － 8)
(n－1)(－4＋2n－8)
＝ n2－ 7n＋14(n ∈N* ) ． 2 ＝ 8＋
小结与拓展： 1）在数列 {a n} 中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：
an
a1 Sn
S1
(n 1)
(n 2,n N )
S
n 1
. 是重要考点； 2）韦达定理应引起重视；
3）迭代法、
累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
【题型 3】
中项公式与最值（数列具有函数的性质）
N
例 3
（文） 在等比数列｛ a ｝中， a ＞ 0 (n
n
n
＊ ），公比 q (0,1) ，且 a a
+ 2a a +a
1 5
3 5
a ＝ 25， a 与 a 的等比中项为 2。（ 1）求数列｛ a ｝的通项公式； （ 2）设 b ＝log
2 8
3
s
a ，
2
n
n n
数列｛ bn ｝的前 n 项和为 Sn 当
S1 1
S2 2
Sn n
最大时，求 n 的值。
解：（ 1）因为 a1a5 + 2a 3a5 +a
2
+ a5 ＝ 25 2a8 ＝ 25，所以， a3 + 2a 3a5
2又 a ＞o， a ＋a ＝ 5
n
又 a 与 a
3
5
的等比中项为 2，所以， a a ＝ 4
3 5
3 5
而 q
（ 0,1 ），所以， a3＞ a5，所以， a3＝ 4， a5＝ 1， q
n 1
1 2
，a1＝ 16，所以，
an
16 1
2
2
5 n
（ 2） bn＝ log 2 a n＝ 5－ n，所以， bn ＋1－ bn＝－ 1，
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