专题九 方案设计型问题
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲
考点一：设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例1 1．（2013?吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案： 课题 方案 一 测量教学楼高度 二 图示 测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， 参考数据 tan22°≈0.40 sin13°≈0.22，cos13°≈0.97 tan13°≈0.23 请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数） 思路分析：若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=ACG中，根据tan∠ACG= sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43° BGtan?BCG即可得出CG的长，同理，在Rt△AGCG可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论． 若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=ABFB可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=ABEB可求出EB的长，由EF=EB-FB且EF=10，可知 ABAB- =10，故可得出AB的长． 0.620.93解：若选择方法一，解法如下： 在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9， ∵CG=6.96.9?=30， tan13?0.23AGCG， 在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°， ∵tan∠ACG=∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12， ∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）． 答：教学楼的高度约19米． 若选择方法二，解法如下： 在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°， ∵tan∠AFB=∴FB=ABFB， ABAB≈， tan43?0.93ABEB， 在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°， ∵tan∠AEB=∴EB=ABAB≈， tan32?0.62∵EF=EB-FB且EF=10， ∴ABAB-=10，解得AB=18.6≈19（米）． 0.620.93答：教学楼的高度约19米． 对应训练
1．（2013?内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：BC=1：3），3（即AB：且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）． 1．解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3， 设DE=x， 在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中， ∵DEtan60o=3x， 3AB1?，AB=3， BC3∴BC=33， 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3， ∴AF=x?3tan30o=， 3（x-3）∵AF=BE=BC+CE， ∴3（x-3）=33+3x， 3解得x=9． 答：树高为9米． 考点二：设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2 （2013?昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
思路分析：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可．