中考数学典型试题及解析
《平行四边形、矩形、菱形、正方形》
一、平行四边形中，边(周长)的计算
例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD的取值范围是_________．
解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9 变式：
1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC的周长大1，求AB，BC的长．
解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5
例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．
解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8
变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．
解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．
(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)
EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD＋DA＋EF＝25
CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30
例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________． 解析：
本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论． 同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．
如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7
如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4
综上，AB＝7或4 变式：
1.平行四边形ABCD的周长为32， ∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．
解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．
如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB， ∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1， 设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16， x＝4，AB＝3x＝12．
如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB， ∵AE：ED＝3：2，
∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5， 设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16， x＝2，AB＝3x＝6． 综上，AB＝6或12.
二、平行四边形面积类问题
例1：平行四边形ABCD中， DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD的周长是30，求其面积．
解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．
如图，设AB＝x，BC＝15－x， 2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18
例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点， 连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．
解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．
本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．