二次函数与相似的结合
题型一：动点在线段上
如图，平面直角坐标系xOy中，已知B(?1,0)，一次函数y??x?5的图像与x轴、y轴
分别交于点A、C两点，二次函数y??x?bx?c的图像经过点A、点B； （1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图像的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标；
2
2如图，抛物线y?ax?2ax?c(a?0)与x轴交于A(?3,0)、B两点（A在B的左侧），
与y轴交于点
C(0,?3)，抛物线的顶点为M；
（1）求a、c的值； （2）求tan?MAC的值；
（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP；问是否存在点P，使得以点O、C、P为
顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
如图，已知抛物线y?ax?x?c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），顶点为B. 点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E. （1） 求抛物线的表达式及点E的坐标； （2） 联结AB，求∠B的正切值；
（3） 点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），
y 当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标. C
x O A E
B
（第24题图）
【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
2解：（1）∵抛物线y?ax?x?c的对称轴为直线x=1，∴a?21. 2∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），∴c??3. 2∴抛物线的表达式为y?123x?x?.………………………………………………（2分） 22∴顶点B（1，-2）.…………………………………………………………………（1分）
∵点C（5，m）在抛物线上，∴m?6. ∴C点坐标为（5，6）. 设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0）， 则??6?5k?b?k?2,，∴?即BC的表达式为y=2x-4.
?b??4.??2?k?b∴E（2,0）.……………………………………………………………………………（1分）
（2）作CH⊥x轴，垂足为H，作BP⊥x轴，垂足为P， ∵C（5，6），A（-1，0），∴CH=6=AH. ∴∠CAH=45°. ∵B（1，-2），A（-1，0），∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.
∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分） ∵CH=6=AH，CH⊥x轴，∴AC?62.
∵BP=2=AP，BP⊥x轴，∴AB?22.
∴tan?B?AC?3.…………………………………………………………………（2分） AB（3）∵∠CAB=90°，∴∠B+∠ACB=90°.
∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B. ………………………………（1分） ∵△CGM与△ABE相似，∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG. 情况1：当∠BAE=∠CMG时，
∵∠BAE=45°，∴∠CMG=45°. ∵GM⊥BC，∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.
∵∠AEB=∠CEM，∴△ABE∽△CME. ……………………………………………（1分） ∴
BEAE53?.即.∴EM=5. ∴M（7，0）. ……………………………（1分） ?EMCEEM35情况2：当∠BAE=∠MCG时，
∵∠BAE=∠CAM，∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA. ………………………………（1分） 设M（x，0），∵C（5，6），A（-1，0），∴(x?1)?(x?5)?6.∴x=5.
∴M（5，0）. …………………………………………………………………………（1分）
题型二：动点在线段的延长线上
如图7，已知抛物线y??x?bx?3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB?OC,点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E。 （1）求点D的坐标；
（2）联结CD、BC，求?DBC的余切值；
（3）设点M在线段CA延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标。
2222
（-,?) 【答案】（1）D（1,4）（2）3（3）
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