利息理论第四章课后答案

1. 某人借款1万元,年利率12%,采用分期还款方式,每年末还款2000元,剩余不足2000

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

r解:.B5?10000?1.125?2000S50.12?4917.7

2. 甲借款X,为期10年,年利率8%,若他在第10年末一次性偿还贷款本利和,其中的

利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元,计算X。 解:x(1.0810?1)?(10x?x)?468.05,x?700.14 a100.083.一笔贷款每季末偿还一次,每次偿还1500元,每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元,计算最初贷款额。

解:

10004B?L(1?)?1500S1000?1200,L?16514.37444r4 或L=12000v?1500a4

410004?16514.374.某人贷款1万元,为期10年,年利率为i,按偿债基金方式偿还贷款,每年末支出款为X,其中包括利息支出和偿债基金存款支出,偿债基金存款利率为2i,则该借款人每年需支出额为1.5X,计算i。

解:10000?(x?10000i)S100.08

10000=(1.5x-20000i)S100.08?i?6.900

5.某贷款期限为15年,每年末偿还一次,前5年还款每次还4000元,中间5次还款每次还3000元,后5次还款每次还2000元,分别按过去法和未来法,给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解:过去法:B7?1000(2a15?a10+a5)(1?i)?1000[4S5(1?i)?3S2]

r72=1000(2a15+a10+a5)(1+i)7-1000(4S7-S2)

r未来法:B7?3000a3?2000a5V3?1000(2a8?a3)

6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还,若Bt,Bt+1,Bt+2,Bt+3为4个连续期间末的贷款余额,证明:

(1)(Bt-Bt+1)(Bt+2-Bt+3)(=Bt+1-Bt+2) (2)Bt+Bt+32?Bt+1+Bt+2

解:Bt?pan?t Bt?1=pan?t?1 Bt?2=pan?t?2 Bt?3=pan?t?3 (1)(Bt?Bt?1)(Bt?2?Bt?3)?p(an?t?an?t?1)(an?t?2?an?t?3)

23 或?p2Vn?t?1 a1Vn?t?a1 或=p2( Vn?t?2a1)22 或=(Bt?1-Bt?2)

(2)Bt?Bt?1?Bt?2?Bt?3?Vn?t?1?Vn?t?3?V2?1

7.某人购买住房,贷款10万元,分10年偿还,每月末还款一次,年利率满足?1+i?=1.5。计算40次后的贷款余额。 解:设月利率为i0,

4(1+i0)=1+i=(1.5)?i0=0.848300

1214100000=p?a120i?p=1331.471

opB40=p?a80i=77103.8

08.某可调利率的抵押贷款额为23115元,为期10年,每季末还款1000元,初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。在进行完第12次还款后,贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%,每季度末保持还款1000元,计算第24次还款后的贷款余额。 解:i?r12%?3%,j??3.5% 4412 B12?23115?1?3%??1000S123%?18760 Br24?18760?1?j?12?1000S12j?13752

9.某贷款分20年均衡偿还,年利率为9%,在哪一次偿还款中,偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。

解:设k年时最接近,k年前贷款余额为an?k?1

利息ian?k?1=1?v令1—vn?k?1n?k?1,本金:1—(1—vn?k?1n?k?1)

=1—(1—v),得1—vn?k?1=

1 2?v20?k?1?1?k?13 210.张某借款1000元,年利率为i,计划在第6年末还款1000元,第12年末还款1366.87元。在第一次还款后第三年,他偿还了全部贷款余额,计算这次偿还额。 解:1000?1000v?1366.87v93612?v6?0.564447

1000?1?i??1000?1?i??1026.96

11.某贷款为期5年,每季末偿还一次,每季计息4次的年名义利率为10%,若第3次还款中的本金部分为100元,计算最后5次还款中的本金部分。 解:还款本金:Rvn?k?1

第3次还款中的本金部分:p3=Rv20-3?1=100?R=155.96

2345 则最后5次还款中的本金部分:155.96v?v?v?v?v?724.59

??

12某借款人每年末还款额为1,为期20年,在第7次偿还时,该借款人额外偿还一部分贷款,额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分,若后面的还款照原来进行,直至贷款全部清偿,证明整个贷款期节省的利息为1?v 解:第7次还款的额外部分为v20?8?113?v13?1,以后按原来进行偿还,即每次

还款按原计划进行,每次还1,到第20次还款时,已经不需要偿还1,设 需偿还X a13720 ?a?v,v=X?1v?X?0??202013 则最后一次不要还了,有19?v,原利息为20 那么节省的利息为1?v

13.某贷款为期35年,分期均衡偿还,没年末还款一次,第8次还款中的利息部分135元,

第22次还款中的利息部分为108元,计算第29次还款中的利息部分。

28?135且R1?v14?108 解:R1?v13?????1?v14?1357 即v?0.5 1087则R1?v?72

??14.L、N两笔贷款额相等,分30年偿还,年利率为4%,L贷款每次还款额相等,N贷款的30次还款中,每次还款中所包含的本金部分相等,包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息,L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t,计算t。 解:设贷款额为w,p为N贷款中每次还款的本金部分。

30p?w?p?w???1? 30L贷款每次偿还额都相等,为

wa30i

wa30i>p?i??w??t?1?p?????2?

由(1)(2)得:t=12.67?13

15.某项贷款为125000元,期限为30年,每月末分期偿还,每次偿还额比前一次偿还额多0.2%,第一次偿还额为P,年利率为5%,计算P.

2解:125000=p?+p?1+0.2%??+?p?1?0.2%?112359?360

??1,j??1?i???1?5%? 1?j112 则p=493.85

16.某贷款为期五年,每半年末还款额为1。每年计息2次的年名义利率为i,计算第8次还款中的本金部分。 解:P8?vn?k?1?v10?8?1?v3?1?i?3?1???2?

17.甲借款人每年末还款3000元。若第三次还款中的利息部分为2000元,每年计息4次的年名义利率为10%,计算第6次还款中的本金部分。

n?3?1?2000 ?vn?2?解;30001?v??1 3 第6次还款中的本金部分为 3000vn?53000vn?2??13404.888 3v18.某投资人购买一种确定年金,每季末可得500元,共10年,年利率为8%,计算该投资人的利息收入。

解:设每季度利率为i

?1?i?4?1.08 ?1+i?1.019 4a40i500?40?500a40i?6186.14

19.甲购买住宅,价值10万元,分期按月付款,为期30年,首次付款发生在购房第一月末,

年利率为5%,10年后。每次付款额增加325.40元。以便较快还完购房款,计算整个还款期间的利息支出。 解:设每月利率为i.

?1?i??1.05?1?i?1.004 100000?pa360i?p?530.005 10000?0?i1?12012?pS?p?i?12032a 4?5.t t?120

20.乙贷款利率每年为5%,每年末还款一次,共10年,首期还款为200元,以后每期比前期增加10元,计算第5此还款中的利息部分。 解;L?200a10?10?Ia?9v?1860.86

rB4?L?1?i???200S4?10?IS?3??1337.84

4rI5?iB4?5%?1337.84?66.89

21.某贷款分10年偿还,首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:证明:L?p?Ia?10?iL?p

Ia10?a?

1?p?ip?Ia?10??Ia?10??a?

i22.某贷款分10期偿还,首期偿还为10,第二期为9,依此类推,第10次还款为1,证明第6次还款中的利息部分:5-a5。 解L=, B5=(Da) (Da)105 I6=iB5=i(Da)=5-a5 523.甲借款2000元,年利率10%,每年末还款一次,首次还款额为400元,以后每次还款额为400元,以后每次比上次多4%,最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还,计算 (1)第三年末的贷款余额(还款后); (2)第三次还款中的本金部分。

322??(1+10%)-400(1+10%)+(1+4%)(1+10%)(+1+4%)解:(1)2000??=1287.76

pp (2)B2?2000(1?10%)-400(+1+4%)?1+10%)(?=1564

r2r (3)I3=iB2=1564?10%=156.4

P3=R3-I3=400?(1?4%)2?156.4?276.24

24.甲在一基金中投资,年利率为i。首年末,甲从基金中提出当年所得利息的162.5%;第二年末,甲从基金中提出当年所得利息的2?162.5%,?,至第六年末,甲从基金中提出当年所得利息的16?162.5%,基金投资全部取完,计算i。 解:设在基金中投资为L

L(1+i-1.625)(1+i-2?1.625)(1+i-3?1.625)?(1+i-16?1.625)=0

则i=

1=0.04

16?1.625-125.某贷款额为

a25 ,采用连续还款公式每年还款为1,共25年,若年贷款利率为5%。计

算第6年至第10年的利息支出额。 解:

?106?Btdt=????dsdt=?6010n-ts106?25-t-1?dt

ln?=2.252

26.证明并解释:

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