1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000
元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。
r解：.B5?10000?1.125?2000S50.12?4917.7
2. 甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的
利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。 解：x(1.0810?1)?(10x?x)?468.05,x?700.14 a100.083.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。
解：
10004B?L(1?)?1500S1000?1200,L?16514.37444r4 或L=12000v?1500a4
410004?16514.374.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。
解：10000?(x?10000i)S100.08
10000=(1.5x-20000i)S100.08?i?6.900
5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解：过去法：B7?1000(2a15?a10+a5)(1?i)?1000[4S5(1?i)?3S2]
r72=1000（2a15+a10+a5）(1+i)7-1000(4S7-S2)
r未来法：B7?3000a3?2000a5V3?1000(2a8?a3)
6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若Bt，Bt+1，Bt+2，Bt+3为4个连续期间末的贷款余额，证明：
（1）（Bt-Bt+1）（Bt+2-Bt+3）（=Bt+1-Bt+2） （2）Bt+Bt+32?Bt+1+Bt+2
解：Bt?pan?t Bt?1=pan?t?1 Bt?2=pan?t?2 Bt?3=pan?t?3 （1）(Bt?Bt?1)(Bt?2?Bt?3)?p(an?t?an?t?1)(an?t?2?an?t?3)
23 或?p2Vn?t?1 a1Vn?t?a1 或=p2( Vn?t?2a1)22 或=（Bt?1-Bt?2）
（2）Bt?Bt?1?Bt?2?Bt?3?Vn?t?1?Vn?t?3?V2?1
7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足?1+i?=1.5。计算40次后的贷款余额。 解：设月利率为i0,
4（1+i0）=1+i=(1.5)?i0=0.848300
1214100000=p?a120i?p=1331.471
opB40=p?a80i=77103.8
08.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。 解：i?r12%?3%,j??3.5% 4412 B12?23115?1?3%??1000S123%?18760 Br24?18760?1?j?12?1000S12j?13752
9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。
解：设k年时最接近，k年前贷款余额为an?k?1
利息ian?k?1=1?v令1—vn?k?1n?k?1，本金：1—（1—vn?k?1n?k?1）
=1—（1—v），得1—vn?k?1=
1 2?v20?k?1?1?k?13 210.张某借款1000元，年利率为i，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。 解：1000?1000v?1366.87v93612?v6?0.564447
1000?1?i??1000?1?i??1026.96
11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。 解：还款本金：Rvn?k?1
第3次还款中的本金部分：p3=Rv20-3?1=100?R=155.96
2345 则最后5次还款中的本金部分：155.96v?v?v?v?v?724.59
??
12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为1?v 解：第7次还款的额外部分为v20?8?113?v13?1，以后按原来进行偿还，即每次
还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设 需偿还X a13720 ?a?v,v=X?1v?X?0??202013 则最后一次不要还了，有19?v，原利息为20 那么节省的利息为1?v
13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，
第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。
28?135且R1?v14?108 解：R1?v13?????1?v14?1357 即v?0.5 1087则R1?v?72
??14.L、N两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L贷款每次还款额相等，N贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L贷款的偿还款首次超过N贷款偿还款的时间为t，计算t。 解：设贷款额为w，p为N贷款中每次还款的本金部分。
30p?w?p?w???1? 30L贷款每次偿还额都相等，为
wa30i
wa30i＞p?i??w??t?1?p?????2?
由（1）（2）得：t=12.67?13
15.某项贷款为125000元，期限为30年，每月末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P，年利率为5%，计算P.
2解：125000=p?+p?1+0.2%??+?p?1?0.2%?112359?360
??1,j??1?i???1?5%? 1?j112 则p=493.85
16.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。每年计息2次的年名义利率为i，计算第8次还款中的本金部分。 解：P8?vn?k?1?v10?8?1?v3?1?i?3?1???2?
17.甲借款人每年末还款3000元。若第三次还款中的利息部分为2000元，每年计息4次的年名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部分。
n?3?1?2000 ?vn?2?解;30001?v??1 3 第6次还款中的本金部分为 3000vn?53000vn?2??13404.888 3v18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。
解：设每季度利率为i
?1?i?4?1.08 ?1+i?1.019 4a40i500?40?500a40i?6186.14
19.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，
年利率为5%,10年后。每次付款额增加325.40元。以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。 解：设每月利率为i.
?1?i??1.05?1?i?1.004 100000?pa360i?p?530.005 10000?0?i1?12012?pS?p?i?12032a 4?5.t t?120
20.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。 解;L?200a10?10?Ia?9v?1860.86
rB4?L?1?i???200S4?10?IS?3??1337.84
4rI5?iB4?5%?1337.84?66.89
21.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P,第2年末偿还额为2P,第3年末偿还额为3P,以此类推,贷款利率为i证明:证明：L?p?Ia?10?iL?p
Ia10?a?
1?p?ip?Ia?10??Ia?10??a?
i22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10，第二期为9，依此类推，第10次还款为1，证明第6次还款中的利息部分：5-a5。 解L=， B5=（Da） （Da）105 I6=iB5=i（Da）=5-a5 523.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算 （1）第三年末的贷款余额（还款后）； （2）第三次还款中的本金部分。
322??（1+10%）-400（1+10%）+（1+4%）（1+10%）（+1+4%)解：（1）2000??=1287.76
pp （2）B2?2000(1?10%）-400（+1+4%）?1+10%）（?=1564
r2r （3）I3=iB2=1564?10%=156.4
P3=R3-I3=400?（1?4%)2?156.4?276.24
24.甲在一基金中投资，年利率为i。首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%；第二年末，甲从基金中提出当年所得利息的2?162.5%，?，至第六年末，甲从基金中提出当年所得利息的16?162.5%，基金投资全部取完，计算i。 解：设在基金中投资为L
L（1+i-1.625）（1+i-2?1.625）（1+i-3?1.625）?（1+i-16?1.625）=0
则i=
1=0.04
16?1.625-125.某贷款额为
a25 ，采用连续还款公式每年还款为1，共25年，若年贷款利率为5%。计
算第6年至第10年的利息支出额。 解：
?106?Btdt=????dsdt=?6010n-ts106?25-t-1?dt
ln?=2.252
26.证明并解释：