复变函数复习提纲
(一)复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.
注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。
3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下：
当x?0, argz?arctanyx；
?y?0,argz?arctany 当x?0,???x???y； ??y?0,argz?arctanx??4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
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5）指数表示：z?zei?，其中??argz。
(二) 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
z1z?x1?iy1??x1?iy1??x2?iy2?x??1x2?y1y2y1x2?y2x1x?22?i22。 2x2?iy2?x2?iy22?iy2?x2?y2x2?y22）若zi?i?1?z1e1,z2?z2e2, 则
zi?1??2?1z2?z1z2e?；
z1z?z1ei??1??2? 2z23.乘幂与方根 1） 若
z?z(cos??isin?)?zei?，则
zn?zn(cosn??isinn?)?znein?。
2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
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nz?z1n???cos??2k?n?isin??2k??n??(k?0,1,2Ln?1)（有n个
相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且
?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2L)（多值函数）；
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且
?lnz???1z；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
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3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
4）三角函数：sinz?eiz?e?iz2i,cosz?eiz?e?iz2,tgz?sinzcoszcosz,ctgz?sinz sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
4） 双曲函数 shz?ez?e?zez?e?z2,chz?2； shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且
?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：f??zf?z0??z??f?z0?0?=?limz?0?z；
2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。
2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为
解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u??v?u??x?y,?y??v?x 此时， 有f??z???u?v?x?i?x。 2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
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?u?v?u?x??y,?y???v?x； 此时f??z???u?x?i?v?x。 注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
n1． 复变函数积分的概念：
?cf?z?dz?limn???f??k??zk，c是光滑曲线。
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