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一章习题解答
1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez
C?ex5?ez2
求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；
（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。
ex?ey2?ez3A123??ex?ey?ez解 （1）aA? 222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11
AB?111111?1???，得 ?AB?cos(?)?135.5 AB14?17238238AB11??（5）A在B上的分量 AB?Acos ?AB?B17（4）由 cos?AB?ex（6）A?C?1eyez2?3??ex4?ey13?ez10 0?2ex5exeyez1?ex8?ey5?ez20 ez5（7）由于B?C?0?40?2eyA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42
ex5exey5eyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
0?2ez20-可编辑修改-
A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11
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1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P。 1(0,1,?2)3(6,2,5) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，
R31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0
故?PP为一直角三角形。 12P3111R12?R23?R12?R23?17?69?17. 13222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
（2）三角形的面积 S?解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
?x?cos?1(exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35?3)?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在
?y?cos(?1eyRP?P)?cos?1(B上的分量。
解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos(?1AB?31)?cos?1()?131 AB29?77A在B上的分量为 AB?AB?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。
ex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4-可编辑修改-
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所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C；
解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。
解 由P?A?X，有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
pA?A?P故得 X?
AA2?1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,（1）直角坐标中的坐标；,3)定出，求该点在：3（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(?2故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120 故该点的球坐标为(5,53.1,120)
3?)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3
25， 2r（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；
1.9 用球坐标表示的场E?er（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故
E?er251? r221?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以
2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB32-可编辑修改-
1.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2