Logistic人口发展模型
一、题目描述
建立Logistic人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测
的效果好?并结合中国实情分析原因。
年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 年份 总人口 1954 60.2 1963 69.1 1972 87.1 1981 100.1 1990 114.333 1999 125.786 1955 61.5 1964 70.4 1973 89.2 1982 101.654 1991 115.823 2000 126.743 1956 62.8 1965 72.5 1974 90.9 1983 103.008 1992 117.171 2001 127.627 1957 64.6 1966 74.5 1975 92.4 1984 104.357 1993 118.517 2002 128.453 1958 66.0 1967 76.3 1976 93.7 1985 105.851 1994 119.850 2003 129.227 1959 67.2 1968 78.5 1977 95.0 1986 107.5 1995 121.121 2004 129.988 1960 66.2 1969 80.7 1978 96.259 1987 109.3 1996 122.389 2005 130.756 1961 65.9 1970 83.0 1979 97.5 1988 111.026 1997 123.626 1962 67.3 1971 85.2 1980 98.705 1989 112.704 1998 124.761 表1 各年份全国总人口数（单位：千万）
二、建立模型
阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。则它应是减函数。于是有：
dx?r(x)x,x(0)?x0dt
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx （1）
(r?0,s?0) （2） 时人口不再增长，即增
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率
xm，当
x?xmr(xm)?0s?，代入（2）式得
rxm，于是（2）式为
x)xm （3）
r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：
x?dx??rx(1?)xm?dt?x(0)?x0 ?解得：
（4）
x(t)?1?(
xmxm?1)e?rtx0 （5）
三、模型求解
用Matlab求解，程序如下： t=1954:1:2005;
x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];
x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];
dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);
r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm和r
x0=61.5;
f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');
title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)
解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5
得到1954-2005实际人口与理论值的结果：
根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将达到16亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均GDP达到3000美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在1.8左右。
按此预测，总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将达到高峰10.1亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。
而据模型求解：
2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1%
五、预测
1. 1954-2005总人口数据建立模型：