复变函数与积分变换试题
本试题分两部分，第一部分为选择题，1页至3页，第二部分为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分，考试时间150分钟。
第一部分 选择题
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有
一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数z?16-8i的辐角为（ ）
25252A． arctan1 B．-arctan1 C．π-arctan1 D．π+arctan1
2222．方程Rez2?1所表示的平面曲线为（ ）
A． 圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 3．复数z?-3(cos)的三角表示式为（ ） 54444A．-3(cos?,＋isin?) B．3(cos?,－isin?)
55554444C．3(cos?,＋isin?) D．-3(cos?,－isin?)
55554．设z=cosi，则（ ）
A．Imz=0 B．Rez=π C．|z|=0 D．argz=π
5,-isin5．复数e3?i??对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw等于（ ）
?? B．2k?－,k?0,?1,? 44??C． D．2k??,k?0,?1,?
44?7．函数w?z2把Z平面上的扇形区域：（ ） 0＜argz?,0?|z|?2映射成W平面上的区域
32??A．0＜argz?,0?|w|?4 B．0＜argz?,0?|w|?4
332??C． 0＜argz?,0?|w|?2 D．0＜argz?,0?|w|?2
33A．－8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分
f(z)?c(z?a)n?1等于（ ）
(n)2?iA．2?if(n?1)(a) B．f(a) C．2?ifn!(n?1)!9．设C为正向圆周｜z+1|=2,n为正整数，则积分
(a) D．
2?ifn!(n)(a)
dz?c(z?i)n?1等于（ ）
1 2?iA． 1 B．2πi C．0 D．
10．设C为正向圆周|z|=1，则积分
dz?c|z|等于（ ）
A．0 B．2πi C．2π D．－2π 11．设函数f(z)=
zz?z0?e?d?，则f（z）等于（ ）
zzzzzzA．ze?e?1 B．ze?e?1 C．?ze?e?1 D．ze?e?1 12．设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则
z?1?cz2dz等于（ ）
A．2??i B．2-?i C．-2-?i D．-2??i
?zn-113．幂级数?的收敛区域为（ ）
n!n?1A．0?|z|??? B．|z|??? C．0?|z|?-1 D．|z|?1 sin(z-)?3的（ ） z?14．是函数f(z)=33z-??A． 一阶极点 B．可去奇点 C．一阶零点 D．本性奇点 15．z=-1是函数
cot?z的（ ）
(z?1)4A． 3阶极点 B．4阶极点 C．5阶极点 D．6阶极点 16．幂极数
（n?1)!nz的收敛半径为（ ） ?(2n)!n?1?A． 0 B．1 C．2 D．＋? 17．设Q（z）在点z=0处解析，f(z)?Q(z),则Res[f(z),0]等于（ ）
z(z-1)A． Q（0） B．－Q（0） C．Q′（0） D．－Q′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）
A．(z3?2z?3)dz,其中C为正向圆周｜z-1|?2
?cB．ezdz,其中C为正向圆周｜z|?5
?cz?csinzdz,其中C为正向圆周｜z|?1 coszD．?dz,其中C为正向圆周｜z|?2
cz-1C．
19．映射w?z?2z下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）
111A．|z?1|?1 B．|z?1|? C．|z|? D．|z|?
2222220．下列映射中，把角形域0?argz??4保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）
z4?1z4－1z4－iz4?iA．w?4 B．w?4 C．w?4 D．w?4
z-1z-iz＋1z＋i第二部分 非选择题
（共60分）
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）
不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 21．复数z?4?48i的模|z|＝_____________________。 22．设z?(1?i)100，则Imz＝______________________。 23．设z=e2?i，则argz＝____________________________。
24．f（z）的可导处为_______________________________。
?i的解为_________________________。 3126．设C为正向圆周|z|=1，则?(?z)dz=___________________________。
cz25．方程Inz=
1e?z27．设C为正向圆周|z－i|=,则积分?dz=___________________。
cz(z-i)22sinf(z)?28．设C为正向圆周|ζ |=2，
?c?3其中|z|<2，则f′(1)=___________________。 ??-zd?，
29．幂极数
n!nz的收敛半径为________________________。 ?nn?1n1z11???]在点z=0处的留数为__________________。 z?1(z?1)530．函数f(z)=[1?三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
31．求u?x?2xy-y的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。
32．计算积分I?
22z?z?c|z|dz的值，其中C为正向圆周|z|=2。
33．试求函数f(z)=
?e0z-?2d?在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。
e?z34．计算积分I??dz的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。
c(z-i)2(z?3i)2
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做
37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分） 35．利用留数求积分I＝
36．设Z平面上的区域为D：|z?i|????0cosxdx的值。
x4?10x2?92,|z-i|?2，试求下列保角映射
?43?； 4（1）w1?f1(z)把D映射成W1平面上的角形域D1：＜argw1?（2）w1?f2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限D2：0＜argw2?（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D映射成G。
?2;
37．积分变换
（1）设F(?)?,a是一个实数，证明
y''-2y;?y?1,（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：y(0)?0,y'(0)?-1.
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