复变函数与积分变换试题

复变函数与积分变换试题

本试题分两部分,第一部分为选择题,1页至3页,第二部分为非选择题,4页至8页,共8页;选择题40分,非选择题60分,满分100分,考试时间150分钟。

第一部分 选择题

一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个选项中只有

一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 复数z?16-8i的辐角为( )

25252A. arctan1 B.-arctan1 C.π-arctan1 D.π+arctan1

2222.方程Rez2?1所表示的平面曲线为( )

A. 圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 3.复数z?-3(cos)的三角表示式为( ) 54444A.-3(cos?,+isin?) B.3(cos?,-isin?)

55554444C.3(cos?,+isin?) D.-3(cos?,-isin?)

55554.设z=cosi,则( )

A.Imz=0 B.Rez=π C.|z|=0 D.argz=π

5,-isin5.复数e3?i??对应的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.设w=Ln(1-I),则Imw等于( )

?? B.2k?-,k?0,?1,? 44??C. D.2k??,k?0,?1,?

44?7.函数w?z2把Z平面上的扇形区域:( ) 0<argz?,0?|z|?2映射成W平面上的区域

32??A.0<argz?,0?|w|?4 B.0<argz?,0?|w|?4

332??C. 0<argz?,0?|w|?2 D.0<argz?,0?|w|?2

33A.-8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析,在C上连续,且z=a为D内任一点,n为正整数,则积分

f(z)?c(z?a)n?1等于( )

(n)2?iA.2?if(n?1)(a) B.f(a) C.2?ifn!(n?1)!9.设C为正向圆周|z+1|=2,n为正整数,则积分

(a) D.

2?ifn!(n)(a)

dz?c(z?i)n?1等于( )

1 2?iA. 1 B.2πi C.0 D.

10.设C为正向圆周|z|=1,则积分

dz?c|z|等于( )

A.0 B.2πi C.2π D.-2π 11.设函数f(z)=

zz?z0?e?d?,则f(z)等于( )

zzzzzzA.ze?e?1 B.ze?e?1 C.?ze?e?1 D.ze?e?1 12.设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周,则

z?1?cz2dz等于( )

A.2??i B.2-?i C.-2-?i D.-2??i

?zn-113.幂级数?的收敛区域为( )

n!n?1A.0?|z|??? B.|z|??? C.0?|z|?-1 D.|z|?1 sin(z-)?3的( ) z?14.是函数f(z)=33z-??A. 一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点 D.本性奇点 15.z=-1是函数

cot?z的( )

(z?1)4A. 3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点 16.幂极数

(n?1)!nz的收敛半径为( ) ?(2n)!n?1?A. 0 B.1 C.2 D.+? 17.设Q(z)在点z=0处解析,f(z)?Q(z),则Res[f(z),0]等于( )

z(z-1)A. Q(0) B.-Q(0) C.Q′(0) D.-Q′(0) 18.下列积分中,积分值不为零的是( )

A.(z3?2z?3)dz,其中C为正向圆周|z-1|?2

?cB.ezdz,其中C为正向圆周|z|?5

?cz?csinzdz,其中C为正向圆周|z|?1 coszD.?dz,其中C为正向圆周|z|?2

cz-1C.

19.映射w?z?2z下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是( )

111A.|z?1|?1 B.|z?1|? C.|z|? D.|z|?

2222220.下列映射中,把角形域0?argz??4保角映射成单位圆内部|w|<1的为( )

z4?1z4-1z4-iz4?iA.w?4 B.w?4 C.w?4 D.w?4

z-1z-iz+1z+i第二部分 非选择题

(共60分)

二、填空题(本大题共10空,每空2分,共30分)

不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 21.复数z?4?48i的模|z|=_____________________。 22.设z?(1?i)100,则Imz=______________________。 23.设z=e2?i,则argz=____________________________。

24.f(z)的可导处为_______________________________。

?i的解为_________________________。 3126.设C为正向圆周|z|=1,则?(?z)dz=___________________________。

cz25.方程Inz=

1e?z27.设C为正向圆周|z-i|=,则积分?dz=___________________。

cz(z-i)22sinf(z)?28.设C为正向圆周|ζ |=2,

?c?3其中|z|<2,则f′(1)=___________________。 ??-zd?,

29.幂极数

n!nz的收敛半径为________________________。 ?nn?1n1z11???]在点z=0处的留数为__________________。 z?1(z?1)530.函数f(z)=[1?三、计算题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

31.求u?x?2xy-y的共轭调和函数v(x,y),并使v(0,0)=1。

32.计算积分I?

22z?z?c|z|dz的值,其中C为正向圆周|z|=2。

33.试求函数f(z)=

?e0z-?2d?在点z=0处的泰勒级数,并指出其收敛区域。

e?z34.计算积分I??dz的值,其中C为正向圆周|z-1|=3。

c(z-i)2(z?3i)2

四、综合题(下列3个题中,35题必做,36、37题中只选做一题,需考《积分变换》者做

37题,其他考生做36题,两题都做者按37题给分。每题10分,共20分) 35.利用留数求积分I=

36.设Z平面上的区域为D:|z?i|????0cosxdx的值。

x4?10x2?92,|z-i|?2,试求下列保角映射

?43?; 4(1)w1?f1(z)把D映射成W1平面上的角形域D1:<argw1?(2)w1?f2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限D2:0<argw2?(3)w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面:Imw>0; (4)w=f(z)把D映射成G。

?2;

37.积分变换

(1)设F(?)?,a是一个实数,证明

y''-2y;?y?1,(2)利用拉氏变换解常微分方程初值问题:y(0)?0,y'(0)?-1.

?

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4