复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
i121.8 22．0 23．1 24．z=0 25．z?(1?i3),或e3
2??3??26．4πi 27．－2π(π+i) 28．i,或2?i?cos 29．E 30．6
333三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
?u?u31．解1：??2x?2y，?2x-2y，
?x?y 由C－R条件，有
?v?x?v?u?,?-， ?y?x?x?y ?v?? 再由
?vdy??(2x?2y)dy?2xy?y2??(x)。 （2分） ?x?u?u?2y??'(x)?-2x?2y?-， ?x?y得?'(x)?-2x，于是?(x)?-x2?C，
?v?2xy?y2-x2?C。 （4分） 由v(0,0)?1,得C＝1。 故v?2xy?y-x?1 （5分） 解2： v(x y)??22?v?vdx?dy?C (0,0)?x?y(x,y) ??(x,y) (0,0)(2y-2x)dx?(2x?2y)dy?C （2分）
?-x2?2xy?y2?C (4分)
以下同解1。
?z?z1dz??2Rezdz??2cos??2i(cos??isin?)d? (3分) 32．解1：?c|z|c -?2 ?4i?? 0(1?cos2?)d??4?i。 （5分）
-i?2??2e?zz?2ei??i??解2：?c??2?2??2ied? (3分) ?|z|?|z|?dz?? 0???????0)?4?i。 （5分） ＝2i(233．解：因为f '(z)?e-z2(-z2)n?(-1)n2n（2分） ????z (|z｜???)，
n!n!n?0n?0? 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得
(-1)nz2n?1 f (z)?? f '(?)d??? (|z｜???) (5分)
0n!2n?1n?0z?e?z34．解：因在C内f(z)?有二阶级点z=I，所以 22(z-i)(z?3i)
? f(z)dz?c2?i?d?lim?(z-i)2f(z)? （2分） 1!z?i?dz???e?z2e?z? ?2?ilim ? -3?z?i(z?3i)2(z?3i)?? ??16(-1?2?i)。 （5分）
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做
37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）
eiz35．解：在上半平面内，f(z)?2有一阶极点z=i和z=3i。 （2分） 2(z?1))(z?9)??1??cosx1eix? I???Redx （4分）
2 -?(x2?1)(x2?9)dx2?-? (x2?1)(x2?9)1Re?2?iR?efs(zi?)?,2?iR?efs(z)??,，3 i （6分） 21s(zi?)?, Re?f，
16ei1 Res?f(z),3i??-， （9分） 48e3i ?? I??48e3(3e2-1)。 （10分）
|z?i|?236．解：（1）由|z－i|?2解得交点z1+1,z2=-1。 （2分）
?设w1?2z-143，则它把D映射成W1平面上的D1：?argw1?? （4分） z?1?4-i?4（2）设w?ew1，则它把D1映射成
?2。 （6分）
W2平面上的第一象限D2：0?argw2?2（3）设w?w2，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw>0。 （8分） （4）w?(e
-i?4?z-12z-12）＝－i()。 （10分） z?1z?1
(Z) i -1 0 -i 1 z?1w1?
z?10 (W1) ? 4(W) (W2) w?w20 2
0 37．解：（1）
???f(?-a)g(t-?)d??????? -?? ?f(t-a)*g(t)? （2分）
??f(t-a)???g(t)? （3分）
?e-iawF(?)G(?)。 （5分）
（2）设F(p)=[(y(t))，对方程两边取拉氏变换，有 p2F(p)+1-2Pf(p)+F(p)= 从中解得 F(p)?1， （7分） p1-p1-1。 （8分） ??2p(p-1)p(p-1) 再求拉氏逆变换，得 y(?t)－1?11??p-p-1? （9分） ?? =1-et (10分)
或利用卷积定理得到 y(?t－) =1- e
－1?1??p?*??－1?1?t
?p-1?＝－1*e （9分） ??t
(10分)