专题07 平面向量及其应用
【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：
平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．
试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±. |a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)若a∥b?a＝λb(λ≠0)；a∥b?x1y2－x2y1＝0. (2)若a⊥b?a·b＝0；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝22a→x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
a ·bx1x2＋y1y2
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝2222.
|a||b|x1＋y1x2＋y2
4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向→→→
量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN＝ON－OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．
6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】
考点1、平面向量的线性运算
【例1】【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(?1,?) ,若a||b,则?? . 【答案】-3
【解析】由a||b可得?1?6?2?????3.
a=(3,?2)，且(a+b)?b，则m?（ ） 【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量a?(1,m)，（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D
【解析】向量a?b?(4,m?2)，由(a?b)?b得4?3?(m?2)?(?2)?0，解得m?8，故选D. →→
【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1→4→→→1→4→
A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC
3333→4→1→C.AD＝AB＋AC
33
→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
→→→→→→→
【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；
y＝________．
→→→1→1→1→1→→
解析 MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)
32321→1→
＝AB－AC， 2611∴x＝，y＝－.
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11答案 －
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【变式探究】(1)(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与
b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1 C．1
D．2
(2)(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．
(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力． 【答案】(1)D (2)±3
【感悟提升】
平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．
(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．
注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．
12→→
【变式探究】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋
23→
λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
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