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用式（2—37）可计算在计数间隔t内恰好到达x辆车的概率。除此之外，还可计算：
到达数小于k的概率：
iiP(x?k)??Cnp(1?p)n?i(2—38)
i?0k?1到达数大于k的概率：
iP(x?k)?1??Cnpi(1?p)n?i(2—39)
i?0k其余类推。
由概率论可知，对于二项分布，其均值M?np，方差D?np(1?p)，M?D。因此，当用二项分布拟合观测数时，根据参数p、n与方差、均值的关系式，用样本的均值m、方差S2代替M、D，p、n可按下列关系式估算（n值计算结果取整）： p?(m?S2)/m(2—40) n?m/p?m2/(m?S2)(2—41)
式中m和S2根据观测数据按式（2—33）、式（2—35）计算。 2．递推公式 P(x?1)?n?xp??P(x)(2—42) x?11?p3．适用条件 车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好。由于二项分布的均值M大于方差D，当观测数据表明S2/m显着大于1.0就是二项分布不适合的表征。 （三）负二项分布 1．基本公式 ??1?xP(x)?Cx,2,L(2—43) ???1p(1?p),x?0,1式中p、?为负二项分布参数。0?p?1,?为正整数，其余符号意义同前。 意义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p,在一连串伯努利试验中，一件时间刚好在第x??次试验中出现第?次的概率。 同样地，用式（2—43）可计算在计数间隔t内恰好到达x辆车的概率。到达数大于k的概率可由下式计算：
?1?iP(x?k)?1??Ci????1p(1?p)(2—44)
i?0k其余类推。
由概率论知负二项分布的均值M??(1?p)/p,方差D??(1?p)/p2,M?D。因此，当用负二项分布拟合观测数据时，利用p、?与均值、方差的关系式，用样
p、?可由下列关系式估算本的均值m、方差S2代替M、D，（β值计算结果取整）：
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p?m/S2??m/(S?m)22(2—45)
式中观测数据的均值m和方差S2,按式（2—33）、式（2—35）计算。
2．递推公式
P(0)?p?(2—46)
P(x)?x???1(1?p)P(x?1)，x?1 x3．适用条件
当到达的车流波动性很大，或者当以一定的计算间隔观测到达的车辆数而其间隔长度一直延续到高峰期间与非高峰期间两个时段时，所得数据就可能会具有较大的方差，此时应使用负二项分布拟合观测数据。S2/m显着小于1时就是负二项分布不适合的表征。 二、连续型分布 描述事件之间时间间隔的分布为连续型分布，连续型分布常用来描述车头时距、可穿越空档、速度等交通流参数的统计特征。 （一）负指数分布 1．基本公式 若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负指数分布。由式（2—27）可知，在计数间隔t内没有车辆到达（x?0）的概率为： 上式表明，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达，则上次车到达和下次车到达之间车头时距至少有t秒,换句话说，P(0)也是车头时距等于或大于t秒的概率，于是有： P(h?t)?e??t(2—47) 而车头时距小于t的概率则为： P（h?t)?1?e??t(2—48) 若Q表示小时交通量，则??Q/3600(veh/s)，式（2—47）可以写成： P(h?t)?e?Qt/3600（2—49） 式中Qt/3600是到达车辆数概率分布的平均值。若令M为负指数分布的均值，即平均车头时距，则应有： 1M?3600/Q?（2—50）
?负指数分布的方差为：
D?1?2(2—51)
d?1?P?h?t????e??t（2—52） dt负指数分布的概率密度函数为：
p(t)?用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分布的参数?。图2—2和图2—3分别为式（2—47）和式（2—48）的图示。
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1.0 0.8 0.6 概率概率 ?t/M 精心整理
图2—2h?t的车头时距分布曲线（m?1s）
2．适用条件
负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的情况。通常认为当每小时每车道的不间断车流量等于或小于500辆时，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。
由式（4—52）可知，负指数分布的概率密度函数曲线是随车头时距h单调递减的，这说明车头时距越小，其出现的概率越大。这种情况在限制超车的单列车流中是不可能出现的，因为车头间距至少应为一个车身长，车头时距必须有一个大于零的最小值?，这就是负指数分布的局限性。
（二）移位负指数分布
1．基本公式 为克服负指数分布的车头时距越趋于零其出现概率越大这一缺点，可将负指数分布曲线从原点O沿t轴向右移一个最小的间隔长度?（根据调查数据确定，一般在1.0～1.5s之间），得到移位负指数分布曲线，它能更好地拟合观测数据。
移位负指数分布的分布函数为： P(h?t)?e??(t??),t??(2—53) P(h?t)?1?e??(t??),t??(2—54) 其概率密度函数为： ??e??(t??),t??p(t)??(2—55) 0,t???均值和方差分别为： 1?M??????(2—56) ?1?D???2?用样本均值m代替M,样本方差S2代替D，就可算出移位负指数分布的两个参数?和?。图2—4为移位负指数分布式(2—53)的曲线图，其中?的表达式由式(2—56)得到。 1.0 图2—4移位负指数分布曲线（M?1s） 0.8 2．适用条件 概0.6 率移位负指数分布适合描述限制超车的单列车流车头时距分布和低流量时多 ?(t??)/(M??)P(h?t)?e 列车流的车头时距分布。 0.4 (t??)的值单调递减的，即服从移移位负指数分布的概率密度函数曲线是随0.2 位负指数分布的车间时距，越接近?其出现的可能性越大，但这在一般情况下不符合驾驶员的心理习惯和行车规律。从统计角度看，具有中等反应强度的驾驶员? 2 4 6 8 10 0 占大多数，他们行车时是在安全条件下保持较短的车间距离（前车车尾与后车车 时间t 头之间的距离，不同于车头间距），只有少部分反应特别灵敏或较冒失的驾驶员才会不顾安全去地追求更短的车间距离。因此，车头时距分布的概率密度曲线一
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般总是先升后降的。为了克服移位负指数分布的这种局限性，可用更通用的连续型分布，如爱尔朗分布、韦布尔分布、皮尔逊Ⅲ型分布、对数正态分布、复合指数分布等等。
（三）韦布尔分布
1．基本公式
??t?????P(h?t)?exp?????t??(2—57) ???????,??????式中?、?、?为分布参数，取正值，且???。?称为起点参数，?称为形状参数，?称为尺度参数。显然，负指数分布和移位负指数分布是韦布尔分布的特例。
韦布尔分布的概率密度函数为： d?1?P(h?t)?1p(t)??dt????t??????????????1??t??exp?????????????????(2—58) ??图2—5为??0、??1的韦布尔分布概率密度曲线，曲线的形状随着参数?的改变而变化，可见韦布尔分布的适用范围是比较广泛的。当??1时即为负指数分布，??3,2时，与正态分布十分近似。使用韦布尔分布拟合数据时，可根据观测数据查阅相关的韦布尔分布拟合用表，得到三个参数的估计值，确定所要使用的韦布尔分布的具体形式。 图2—α5=3 韦布尔分布概率密度曲线 α=0.5 1.2 2．适用条件0.8 韦布尔分布适用范围较广，交通流中的车头时距分布、速度分布等一般都可0.4 α=2 用韦布尔分布来描述。实践也表明，对具有连续型分布的交通流参数进行拟合，韦布尔分布常常具有与皮尔逊Ⅲ型分布、复合指数分布、对数正态分布和正态分布同样的效力。韦布尔分布的拟合步骤并不复杂，其分布函数也比较简单，这是α=1 皮尔逊Ⅲ型分布等分布所不具备的优点，这个优点给概率计算带来了很多便利。此外，韦布尔分布随机数的产生也很简便。因此，当使用最简单的负指数分布或0.51.01.52.0 移位负指数分布不能拟合实测的数据时，选用韦布尔分布来拟合是最好的出路之0 一。 时间t （四）爱尔朗分布 爱尔朗分布也是较为通用的描述车头时距、速度等交通流参数分布的概率分布模型，根据分布函数中参数“l”的改变而有不同的分布函数。
累积的爱尔朗分布可写成如下形式：
??ltl?1ieP(h?t)??(?lt)(2—59) i!i?0当l?1时，式（2—59）简化成负指数分布；当l??时，式（2—59）将产生均一的车头时距。这说明爱尔朗分布中，参数l可以反映畅行车流和拥挤车流之间的各种车流条件。l越大，说明车流越拥挤，驾驶员自由行车越困难，车流运行的随机性越差。因此，l值是非随机性程度的粗略表示，非随机性程度随着l值
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的增加而增加。实际应用时，l值可由观测数据的均值m和方差S2用下式估算，且四舍五入取整数：
m2l?2(2—60) S爱尔朗分布的概率密度函数为：
l?1(?t)p(t)??e??t,l?1,2,3,?(2—61)
(l?1)!图2—6为l=1、2、4时的概率密度曲线。 精心整理
0.8 图2—0.7 0.6 6?固定时不同l值对应的爱尔朗分布密度曲线 0.5 0.4 率0.3 概0.2 0.1 0.0 0 24681012 时间t