弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量?x?100MPa，?y?50MPa，?xy?1050 MPa，则主应力?1?150MPa，
?2?0MPa，?1?35?16?。
8、已知一点处的应力分量，
?x?200MPa，?y?0MPa，?xy??400 MPa，则主应力?1?512 MPa，
?2?-312 MPa，?1?-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，?x??2000MPa，?y?1000MPa，?xy??400 MPa，则主应力?1?1052 MPa，?2?-2052 MPa，?1?-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
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二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√） 5、如果某一问题中，?z??zx??zy?0，只存在平面应力分量?x，?y，?xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，?z??zx??zy?0，只存在平面应变分量?x，?y，?xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）
三、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）?x?Ax?By，?y?Cx?Dy，?xy?Ex?Fy； （2）?x?A(x2?y2)，?y?B(x?y)，?xy?Cxy； 其中，A，B，C，D，E，F为常数。
22???x??yx??0??y??x解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程?；
?????y?xy?0??x??y??2?2?（2）在区域内的相容方程?（3）在边界上的应力边界条件??x2??y2????x??y??0；
?????l?x?m?yx?s?f????m?y?l?xy?s?fx?s?；（4）对于多连体的位移单值条件。 y?s?（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量?x??Qxy2?C1x3，?y??3，?xy??C2y?C3xy，体力不计，Q为常数。2C2xy试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程
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232???x??yx??0??x?y? ????y???xy?0??x??y得
??Qy2?3C1x2?3C2y2?C3x2?0 ??3Cxy?2Cxy?023?即
??3C1?C3?x2??Q?3C2?y2?0 ???3C2?2C3?xy?0由x，y的任意性，得
?3C1?C3?0??Q?3C2?0 ?3C?2C?03?2由此解得，C1?QQQ，C2??，C3? 6323、已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0，代入平衡微分方程
???x??yx??X?0??x?y??
??y??xy??Y?0???y?x?可知，已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
?2?xy?2?2 (?x???y)?2(?y???x)?2(1??)2?x?y?y?x将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：
?2??2?2??xy (???)?(???)?xyyx221??1??1???x?y?y?x将已知应力分量?x??q，?y??q，?xy?0代入上式，可知满足相容方程。
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