2.1 数列的概念与简单表示法（1）
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案 不是．顺序不一样．
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？
答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二 通项公式
思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100. 梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
答案 如图，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
*
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
知识点三 数列的分类
思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 答案 (1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．
梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 111
(1)1，－，，－；
2341925
(2)，2，，8，； 222
(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝
－
n＋1
n，n∈N.
*
1491625(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
22222所以它的一个通项公式为an＝，n∈N.
2
(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10，可得原数列的一个通项公式为an＝10－1，n∈N.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)
n＋1
n*
n2
*
n＋1，n∈N.
*
反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1111
(1)－，，－，；
1×22×33×44×52－13－14－15－1(2)，，，；
2345(3)7,77,777,7 777.
解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝－
n2
2
2
2
nn＋
，n∈N.
*
2
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所
n＋2－1*
以它的一个通项公式为an＝，n∈N.
n＋1
777777
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100999999－1)，7
9×(1 000－1)，
7
9
×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，73
9×(10－1)， 79
×(104
－1)， 所以它的一个通项公式为a＝79×(10n－1)，n∈N*
n.
类型二 数列的通项公式的应用 例2 已知数列{a－nn＋n}的通项公式an＝n－
n＋
，
n∈N*.
(1)写出它的第10项；
(2)判断2
33是不是该数列中的项．
10
解 (1)a－×1111
10＝19×21＝399. (2)令
n＋1＝2n－
n＋33
，化简得8n2
－33n－35＝0， 解得n＝5(n＝－7
8
舍去)．
当n＝5时，a222
5＝－33≠33.所以33不是该数列中的项．
引申探究
对于例2中的{an}． (1)求an＋1；(2)求a2n. 解 (1)a－n＋1
n＋＋1]
n＋1＝n＋
－n＋＋1]
n＋1
＝
－
n＋n＋
n＋
.
－2n(2)an＋
2n＋1
2n＝n－
n＋
＝n－n＋
.
3