4m(m－8)＝0，解得m＝0或m＝8，又m＝0不满足①②两式，m＝8满足①②两式，故m＝8.
22. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，122
小正方形的面积是，则sinθ－cosθ的值为( )
25
7724
A．1 B．－ C. D．－
252525答案 B
解析 解法一：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边12
为sinθ，小正方形的边长为cosθ－sinθ，∵小正方形的面积是，∴(cosθ－sinθ)
2511
＝，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ>sinθ，∴cosθ－sinθ＝，又(cosθ25512422－sinθ)＝1－2cosθsinθ＝，∴2sinθcosθ＝，(sinθ＋cosθ)＝1＋2sinθcosθ2525497722
＝，∴sinθ＋cosθ＝，∴sinθ－cosθ＝(sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)＝－，故25525选B.
1
解法二：设直角三角形中较小的直角边长为x，∵小正方形的面积是，∴小正方形的
2511?1?222
边长为，直角三角形的另一直角边长为x＋，又大正方形的面积是1，∴x＋?x＋?＝1，
55?5?3347?3?2?4?222
解得x＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴sinθ－cosθ＝??－??＝－，故选B.
55525?5??5?
23．若sin?
?π－α?＝1，则cos?2π＋2α?＝( )
?3?3?
?6???
7722
A．－ B. C．－ D. 9999答案 A
?π?π??1?π?1?π?1解析 ∵sin?－α?＝，∴sin?－?＋α??＝，∴cos?＋α?＝，
??3?6?3?3?3?2?3
∴cos?
?2π＋2α?＝2cos2?π＋α?－1＝2×1－1＝－7，选A.
??3?99?3???
?π＋α?
?
?2?
24．已知tanα＝2，则 sinπ＋α－sin?
?3π?cos?＋α?＋cosπ－α?2?
答案 －3
sinπ＋α－sin?解析
cos?＝
的值为________．
?π＋α?
?
?2?
?3π＋α?＋cosπ－α?
?2?
－sinα－cosα＝ sinα－cosα－tanα－1
＝－3.
tanα－1
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题． 二、模拟大题
tanα1．已知＝－1，求下列各式的值．
tanα－62cosα－3sinα(1)； 3cosα＋4sinα(2)1－3sinαcosα＋3cosα. 解 由
tanα＝－1，得tanα＝3.
tanα－6
2
2cosα－3sinα2－3tanα7(1)＝＝－. 3cosα＋4sinα3＋4tanα15(2)1－3sinαcosα＋3cosα 1－3sinαcosα＋3cosα＝ 22cosα＋sinαsinα＋cosα－3sinαcosα＋3cosα＝ 22
cosα＋sinαsinα－3sinαcosα＋4cosα＝ 22cosα＋sinαtanα－3tanα＋42＝＝. 2
tanα＋15
22
2
2
2
2
22
2．已知关于x的方程2x－(3＋1)x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：
sinθcosθ(1)＋的值；
11－tanθ1－
tanθ(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
3＋1
?sinθ＋cosθ＝， ①?2
解 (1)?
msinθcosθ＝， ②??2
2
2
2
sinθcosθsinθcosθ＋＝＋ 11－tanθsinθ－cosθcosθ－sinθ1－
tanθsinθ－cosθ3＋1＝＝sinθ＋cosθ＝. sinθ－cosθ22＋3(2)将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝.
2∴sinθcosθ＝
3. 4
2
2
m33
由②式得＝，∴m＝.
242
(3)由(2)可知原方程变为 2x－(3＋1)x＋3?sinθ＝，?2∴?
1
cosθ＝??2
2
331
＝0，解得x1＝，x2＝. 222
3
?cosθ＝，?2或?
1
sinθ＝.??2
ππ
又θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝. 36
π?3π?3．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos?＋α?－sinα2?2?(1)化简f(α)；
1
(2)若f(α)＝，求sinα·cosα和sinα－cosα的值．
5
1＋cosα－1.
1－cosα解 (1)f(α)＝sinα－sinα·
1＋cosα－1 21－cosα2
1＋cosα＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.
sinα1
(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，
5122
平方可得sinα＋2sinα·cosα＋cosα＝，
252412
即2sinα·cosα＝－，∴sinα·cosα＝－，
2525492
∵(sinα－cosα)＝1－2sinα·cosα＝，
25π
又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，
27
∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－. 51??sinα＋cosα＝，5解法二：联立方程?
??sin2α＋cos2α＝1，3
sinα＝－，??5解得?4
cosα＝??5
4
sinα＝，??5或?3
cosα＝－.??5
3
sinα＝－，??5π
∵－<α<0，∴?24
cosα＝，??5
127
∴sinα·cosα＝－，sinα－cosα＝－. 255
?ππ??π?4．是否存在α∈?－，?，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos?－β?，?22??2?
3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在角α，β满足条件，
?sinα＝2sinβ， ①
则由已知条件可得?
?3cosα＝2cosβ. ②
由①＋②，得sinα＋3cosα＝2.
2
2
2
2
122
∴sinα＝，∴sinα＝±.
22π?ππ?∵α∈?－，?，∴α＝±.
4?22?π3
当α＝时，由②式知cosβ＝，
42π
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
6π3
当α＝－时，由②式知cosβ＝，
42
π
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
6ππ
∴存在α＝，β＝满足条件．
46