第六章 平行四边形
1.平行四边形的性质
(1)根据平行四边形对边相等，可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补，这是根据平行线的性质进行推导得出的，可以用来求角的度数.
(3)平行四边形的对角线互相平分，且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形，可以应用全等三角形的性质进行解题. 【例1】在?ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，则?ABCD的周长为__________cm. 【标准解答】∵在?ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm， ∴?ABCD的周长为6+6+8+8=28(cm). 答案：28
【例2】在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，则顶点D的坐标为( ) A.(7，2) C.(1，2)
B.(5，4) D.(2，1)
【标准解答】选C.如图.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB，
∵?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)， ∴顶点D的坐标为(1，2).
【例3】如图，在?ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=4， ∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°， ∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°， ∴∠FEB=∠CEH=180°-∠B-∠BFE=30°， ∵E为BC的中点，∴BE=CE=2， ∴CH=BF=1， 由勾股定理得：EF=EH=
.
∴△DEF的面积是EF·DH=2答案：2
.
【例4】如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.
【标准解答】猜想：BE
DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB=AD，CB∥AD，∴∠BCE=∠DAF 在△BCE和△DAF中，
∴△BCE≌△DAF.∴BE=DF，∠BEC=∠DFA.∴BE∥DF，故BE
DF.
【例5】如图，在?ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
【标准解答】选B.因为∠B=80°， 所以∠BAD=100°， 又AE平分∠BAD，
所以∠BAE=∠DAE=∠BEA=50°， 因为CF∥AE，所以∠1=∠BEA=50°.
【例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于________.
【标准解答】易知四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC=AC=3. 答案：3
【例7】如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是( )
A.AC⊥BD
B.AB=CD
C.BO=OD D.∠BAD=∠BCD
【标准解答】选A.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，则选项B正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，∴BO=OD，则选项C正确；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=
180°，∴∠BAD=∠BCD，则选项D正确；由BO=OD，假设AC⊥BD，
又∵OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，∴AC不垂直BD，则选项A错误.
1.已知?ABCD的周长为32，AB=4，则BC=( )
A.4 B.12
C.24
D.28
2.若平行四边形ABCD的周长为22cm.AC，BD相交于O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=________，AB=________.