第5讲 简单的三角恒等变换
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名 二倍角的正弦 二倍角的余弦 二倍角的正切 [必会结论]
1＋cos2α1－cos2α22
1．降幂公式：cosα＝，sinα＝.
222．升幂公式：1＋cos2α＝2cosα，1－cos2α＝2sinα. 3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)． 4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)， 其中sinφ＝
2
2
2
2
22公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cosα－sinα＝1－2sinα＝2cosα－1 2tanαtan2α＝ 21－tanα22ba2＋b，cosφ＝2
aa2＋b2
.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( ) (3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．( ) (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (5)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[2018·江西九江模拟]计算sinA．0 B．－2 C．2 D.2 答案 B
ππ
－3cos的值为( ) 1212
解析 sin故选B.
ππ3π??1π?ππ??π?－3cos＝2?sin－cos?＝2sin?－?＝2sin?－?＝－2.1212?123??4?12??2122
3
3．[2017·山东高考]已知cosx＝，则cos2x＝( )
41111A．－ B. C．－ D. 4488答案 D
1?3?22
解析 cos2x＝2cosx－1＝2×??－1＝.故选D.
8?4?
π?π?π?1?4．[2018·山西四校联考]已知sin?＋α?＝，－＜α＜0，则cos?α－?的值是
3?2?2?2?( )
121
A. B. C．－ D．1 232答案 C
π?11331?解析 由已知得cosα＝，sinα＝－，cos?α－?＝cosα＋sinα＝－.
3?22222?π?1?5．[2017·江苏高考]若tan?α－?＝，则tanα＝________.
4?6?答案
7
5
π4π
－?＝ ?4?π
1＋tanαtan
4
tanα－tan
?解析 解法一：∵tan?α
?
tanα－11
＝，
1＋tanα6
＝
7
∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.
5
?α－π?＋π? 解法二：tanα＝tan????4?4????
π?π1＋tan＋1?4?46?7
＝＝＝.
π?15π?1－×11－tan?α－?tan4?64?
?tan?α－
6．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________． 答案
5
5?25?
解析 f(x)＝2cosx＋sinx＝5?cosx＋sinx?，
5?5?设sinα＝
255
，cosα＝，则f(x)＝5sin(x＋α)， 55
∴函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为5.
板块二 典例探究·考向突破 考向 三角函数的化简求值
A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案 D 解析 ＝
3131
－＝－
cos10°sin170°cos10°sin10°
3sin10°－cos10°2sin?10°－30°?－2sin20°
＝＝＝－4.
sin10°cos10°11
sin20°sin20°22
(2)4cos50°－tan40°＝( ) A.2 B.答案 C
解析 4cos50°－tan40°＝＝＝
4sin40°cos40°－sin40°
cos40°
2＋3
C.3 D．22－1 2
2sin80°－sin40°2sin100°－sin40°
＝
cos40°cos40°2sin?60°＋40°?－sin40°
cos40°2×
31
cos40°＋2×sin40°－sin40°22
cos40°
＝
＝3. 触类旁通
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次． 12
sin35°－
2
【变式训练1】 (1)[2018·九江模拟]化简等于( )
cos10°cos80°1
A．－2 B．－ C．－1 D．1
2答案 C
11－cos70°112
sin35°－－－cos70°2222
解析 ＝＝＝－1.
cos10°cos80°cos10°sin10°1
sin20°2(2)计算：tan20°＋4sin20°＝________. 答案
3