号 位封座 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班 绝密 ★ 启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A?{x|log2(x?1)?0}，B?{x|x?3}，则CRA?B?（ ） A.(??,1) B.(2,3)
C.(2,3]
D.(??,1]?[2,3]
【答案】D
【解析】由集合A?{x|log2(x?1)?0}?{x|1?x?2}，则CRA?{x|x?1或x?2}， 又B?{x|x?3}，所以CRA?B?(??,1]?[2,3].
2.已知复数z1?3?4i，复平面内，复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2关于实轴对称，则z1?z2?（ ） A.?25 B.25
C.?7
D.7
【答案】A
【解析】由复数z1与z3所对应的点关于原点对称，z3与z2关于实轴对称可得， 复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，z1?3?4i， ∴z2??3+4i，∴z1?z2?(3?4i)(?3+4i)??25. 3.函数f(x)?|x|ln|x|x4的图象大致为（ ） 泄露天机·理科数学 第1页（共14页）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为f(?x)?|?x|ln|?x|x4?|x|ln|x|x4?f(x)，所以f(x)是偶函数， 可得图象关于y轴对称，排除C，D；当x?0时，f(x)?lnx1x3，f(1)?0，f(2)?0，排除B.
4.在?ABC中，AB?4，AC?2，?BAC?60?，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近Cuuuruuur的三等分点，则AB?AD?（ ）
A.8 B.6
C.4
D.2
【答案】A
【解析】∵uuuADr?CDuuur?uuuACr?1CBuuruuur1uuur1uuuruuur1uuur2uuuruuuruuur3?AC?3AB?3AC?AC?3AB?3AC，
∴AB?AD?1uuur22uuu3AB?3ABr?uuuACr?1683?3?8.
5.在?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若
bsinB?asinA?12asinC，且?ABC的面积为2R2sinB(1?cos2A)，则cosB?（ ） A.
1 B.
143 C.
12 D.
34 【答案】D
【解析】∵bsinB?asinA?12asinC，∴由正弦定理得，b2?a2?12ac①， ∵?ABC的面积为2R2sinB(1?cos2A)?a2sinB，∴1acsinB?a22sinB，
则c?2a，代入①得，b2?2a2，
由余弦定理得，cosB?a2?c2?b2a2?4a2?22ac?a24a2?34. 6.已知双曲线x2y2222a2?b2?1(a?0,b?0)的一条渐近线被圆(x?c)?y?4a截得弦长为圆心到渐
近线距离的两倍（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（ ）
泄露天机·理科数学 第2页（共14页）
A.e?2 B.e?3 C.e?22 D.e?33 【答案】B
【解析】双曲线x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为bx?ay?0，
圆(x?c)2?y2?4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为bc
a2?b2?b，∵渐近线被圆(x?c)2?y2?4a2截得的弦长为2b，
∴b2?b2?4a2，∴b2?2a2，即bb2a?2，e?1?a2?1?2?3.
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为?1，则判断框中可以填入的条件是（ ）
A.n?999? B.n?999?
C.n?999?
D.n?999?
【答案】C
【解析】该程序框图的功能是计算S?2?lg12?lg23?L?lgnn?1?2?lg(n?1)的值. 要使输出的S的值为?1，则2?lg(n?1)??1，即n?999，故①中应填n?999?.
8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF?2AF?4，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）
泄露天机·理科数学 第3页（共14页）
A.
413 B.
5 913C.
26 D.
326 【答案】A
【解析】在?ABD中，AD?6，BD?2，?ADB?120?， 由余弦定理，得AB?AD2?BD2?2AD?BDcos120??213，
所以
DF42AB?213?13，所以所求概率为S?DEFS?(2)2?4. ?ABC13139.长方体ABCD?A1B1C1D1，AB?4，AD?2，AA1?5，则异面直线A1B1与
AC1所成角的余弦值为（ ） A.
25 B.
315 C.
45 D.
2 【答案】C
【解析】∵C1D1//A1B1，∴异面直线A1B1与AC1所成的角即为C1D1与AC1所成的角?AC1D1， 在Rt?AC21D1中，C1D1?4，AC1?4?22?(5)2?5，∴cos?AC1D11D1?CAC?4. 1510.将函数y?sin(x??16)的图象上各点的横坐标变为原来的
2（纵坐标不变），再往上平移1个 单位，所得图象对应的函数在区间[??4,?2]上的值域为（ ）
A．[1?3,122] B．[,2]
C．[0,2]
D．[?122,1] 【答案】A
【解析】将函数y?sin(x??16)的图象上各点的横坐标变为原来的
2， 可得y?sin(2x???6)的图象，再往上平移1个单位，得函数y?sin(2x?6)?1的图象. ∵?????74?x?2,∴?3?2x??6?6，
∴y?sin(2x??6)的最大值为1，最小值为?32， 泄露天机·理科数学 第4页（共14页）
故函数y?sin(2x??6)?1的值域为[1?32,2]. 11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x?R都有f(x?3)?f(x)，且f(?1)?4，则
f(2020)的值为（ ）
A.2 B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】由f(x?3)?f(x)，知函数f(x)为周期函数，且周期T?3，
则f(2020)?f(3?673?1)?f(1)?f(?1)?4.
12.过抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若4|AF|?|BF|，O为坐标原点，则
|AF||OF|?（ ） A.
54 B.3
C.4
D.5
【答案】A
【解析】由题意得x2?2py，则F(0,p2)，所以|OF|?p2，由题设可知， 设直线AB的方程为y?kx?p，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x4|AF|?|BF|uu21?x2， uruuur因为，所以?4AF?BF，则x2??4x1①，
?由??y?kx?p2，整理得x2?2pkx?p2?0，
??x2?2py所以x?x212?2pk，x1x2??p②，
联立①②可得k??34，即直线AB的方程为y??3p4x?2， ?又??y??3p4x?2，整理得2x2?3px?2p2?0，解得x??2p或x?p，
??x2?2py2故A(p2,p8)，B(?2p,2p)，所以根据抛物线的定义可知|AF|?pp58?2?8p，
所以
|AF||OF|?54.
泄露天机·理科数学 第5页（共14页）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线C:f(x)?sinx?2ex在x?0处的切线方程为 . 【答案】3x?y?2?0
【解析】f?(x)?cosx?2ex?k?f?(0)?3，
∵f(0)?2，∴y?2?3x，3x?y?2?0.
?x?y?14.若变量x，y满足约束条件?8?x?y?4，则z?x?2y的最大值为 .
??x?0,y?0【答案】16
?x?y?8【解析】由约束条件??x?y?4作出可行域如图所示，
??x?0,y?0z?x?2y可化为y??12x?z2.当直线过点C(0,8)时，z取最大值，
即zmax?2?8?16.
15.已知?为第一象限角，sin??cos??54，则cos(2020??2?)? . 【答案】?5716 【解析】cos(2020??2?)?cos2?，因为sin??cos??54，所以1?sin2??2516， ∴sin2??916.因为sin??cos??54?0，?为第一象限角，所以cos2???5716，
泄露天机·理科数学 第6页（共14页）